Cuestiones de´Algebra Lineal

261. Si A∈ M (n,n) (R), b∈ M (n,1) (R) y det(A) = 8, entonces Ax = b tiene
como única solución x = A −1 b.
262. Sean A∈ M (m,n) (R), b∈ M (m,1) (R) . Si S es el conjunto de soluciones
del sistema Ax = b, entonces entre las siguientes afirmaciones
(1) (0, 0, . . . , 0) ∈ S,
(2) S es usbespacio vectorial de R n ,
(3) rang(A) = rang(A|b),
se verifican las implicaciones
(1) ⇒ (3) (3) ⇒ (2).
a) Verdadero, pues (1), (2) y (3) son equivalentes.
b) Verdadero, pues (1) ⇒ (3) ya que si (0, 0, . . . , 0) ∈ S, entonces
b = 0 y rang(A) = rang(A|b); además (3) ⇒ (2) pues si rang(A) =
rang(A|b), entonces el sistema es compatible y el conjunto de soluciones
de un sistema es siempre un espacio vectorial.
c) Falso, pues la implicación (3) ⇒ (2) sólo es cierta si b = 0.
263. Sea A una matriz cuadrada de orden n tal que el sistema homogéneo
Ax = 0 es compatible indeterminado. Entonces si b∈ M (n,1) (R), el
sistema Ax = b es compatible indeterminado.
a) Verdadero, pues rang(A) = rang(A|b).
b) Falso, ya que si consideramos las matrices
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
1 1 1
1
A = ⎝ 0 0 1 ⎠ y b = ⎝ 1 ⎠, se cumple que Ax = 0 es compatible
0 0 2
0
indeterminado y, sin embargo, Ax = b es incompatible.
c) En general es falso, aunque sería cierto si b es el doble de la primera
columna de la matriz A.
264. Sea f un endomorfismo de R 3 de matriz A respecto de la base canónica,
cuyo subespacio imagen está dado por
Im(f) = {(x, y, z) ∈ R 3 | x + y + z = 0 , z = 0}.
⎛ ⎞
1
Entonces se verifica que el sistema Ax = ⎝ −1 ⎠ es compatible determinado.
0
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