Cuestiones de´Algebra Lineal

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⎛ ⎜ ⎝ 1 3 5 −1 1 −1 −2 −5 4 2 0 1 1 −1 4 1 4 6 −2 5 ⎞ ⎟ ⎠ y del que resulta de reemplazar la última columna por la 272. El sistema de ecuaciones lineales cuya matriz ampliada es ⎛ ⎞ 1 k −2 −1 ⎝ k 1 −2 −1 ⎠ 2 2 −3 −1 verifica que a) no tiene solución para k = 1, b) para cualquier k ∈ R es compatible, c) tiene solución única para k > 1, d) tiene infinitas soluciones para k = 5/3, e) tiene exactamente dos soluciones distintas para k = 0. 273. El sistema de ecuaciones lineales cuya matriz ampliada es ⎛ ⎞ 1 −1 −5 a ⎝ 1 1 −1 a ⎠ 1 −5 17 b verifica que a) si a = 1, tiene solución única para cualquier b ∈ R, b) si a = b, es compatible, c) si a = b = 0, el conjunto de todas las soluciones es un espacio vectorial de dimensión 1, d) si b = 0, es compatible indeterminado para cualquier a ∈ R, e) no existen valores de a y b para los cuales sea incompatible. 274. Prueba que el sistema de ecuaciones lineales cuya matriz ampliada es ⎛ ⎜ ⎝ 1 2 4 6 ⎞ ⎟ ⎠ . 38
⎛ ⎜ ⎝ 1 3 5 −1 1 −1 −2 −5 4 2 0 1 1 −1 4 1 4 6 −2 5 ⎞ ⎟ ⎠ es compatible si, y sólo si c − 2a + b = 0. 275. Resolver los sistemas de ecuaciones lineales cuyas matrices ampliadas son ⎛ ⎞ 1 −1 3 2 ⎜ 2 2 2 2 ⎟ ⎝ 3 1 5 4 ⎠ 1 5 −3 −1 ⎛ ⎜ ⎝ ⎛ ⎜ ⎝ ⎛ ⎜ ⎝ ⎛ ⎜ ⎝ ⎛ ⎜ ⎝ 1 −1 3 −4 2 6 0 1 3 1 −1 2 1 1 −1 2 1 1 1 0 −1 0 1 1 ⎞ ⎟ ⎠ 2 5 −1 4 −1 −5 −6 1 3 2 4 9 −16 −8 8 −4 6 3 −4 6 2 6 3 5 1 2 −3 −1 1 2 −1 6 −2 3 4 9 −5 3 −2 3 7 −2 −1 −6 ⎞ ⎟ ⎠ 1 −5 3 3 −3 0 1 −3 2 4 −2 0 −2 6 −4 −3 2 0 −2 8 −5 −2 3 0 ⎞ ⎟ ⎠ 1 −2 3 5 −4 2 2 −5 7 7 −a −7 2 −4 6 5 2 −6 −1 1 −2 −3 5 −3 1 −3 4 2 7 −9 ⎞ ⎟ ⎠ ⎞ ⎟ ⎠ 276. Sea el sistema Ax = b con b ≠ 0 y su sistema homogéneo asociado Ax = 0. Sean x e y dos soluciones cualesquiera de Ax = b. Entonces a) x − y es solución de Ax = 0 pero no lo es x + y, 39
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