Cuestiones de´Algebra Lineal

41. Si F y G son subespacios de E, entonces, dim(F + G) = dim(F ) +
dim(G).
42. Un espacio de dimensión n, no puede tener un conjunto generador con
más de n elementos.
43. Si n vectores generan un espacio de dimensión n, entonces forman un
conjunto l.i..
44. El vector 0 es el único vector de un espacio vectorial cuya expresión
como combinación lineal de los elementos de cualquier base tiene todos
los coeficientes nulos.
45. Dado un vector x ≠ 0, siempre podemos hallar una base del espacio
vectorial de forma que sus coordenadas respecto de esa base sean 0,0,. . .
y 0.
46. Hallar una base, lo más simple posible, para los subespacios generados
por los conjuntos de vectores
(i) [(1,1,1,-2),(2,4,3,3),(0,4,2,2)]
(ii) [(2,-1,1),(4,-2,-1),(-2,1,-3),(6,-3,5)]
(iii) [(2,-1,2,-1),(1,1,-1,2),(1,2,1,7),(1,3,-2,7)].
47. Si (x,y,z ) es una base de R 3 y
u = 2x + 7y − 3z
v = x − 2y + 5z
w = 4x + 3y + 7z
demostrar que no es posible expresar x, y y z como combinaciones
lineales de u, v y w. ¿Qué significa ese hecho sobre (u,v,w).
48. Determinar cuales de 1os siguientes subconjuntos de R 3 son bases
a) (1,0,-1) , (2,5,1) , (0,-4,3)
b) (2,-4,1) , (0,3,-1) , (6,0,-1)
c) (1,-3,-2) , (-3,1,3) , (-2,-10,-2)
6