Cuestiones de´Algebra Lineal

314. Sea el producto escalar f(P (x), Q(x)) = ∫ 2
0 P (x)Q(x)dx en R 2(x). Calcular
‖x 2 ‖, ‖x 2 − x + 2‖, el coseno del ángulo que forman x 2 y x + 2
averiguando si son ortogonales.
315. Aplicar el método de Gram-Schmidt a la base de R 3 ((1, 0, 1), (1, 0, −1),
(1, 3, 4)) para obtener una base ortonormal, considerando el producto
escalar ordinario.
316. Sea el producto escalar f(P (x), Q(x)) = ∫ 1
−1 P (x)Q(x)dx en R 3(x).
Ortonormalizar la base canónica.
317. Sea W el subespacio de R 4 de todos los vectores ortogonales a (1, 0, −1, 1)
y a (2, 3, −1, 2). Hallar una base ortonorrnal de W y extenderla a una
base ortonormal de R 4 .
318. En R 3 , considera W = {(x, y, z)|3x + y − z = 0}. Hallar la proyección
ortogonal del vector (1,1,1) sobre W .
319. Hallar un vector ortogonal a (2, 1, −1) y (1, 2, l).
320. Averiguar si las siguientes afirmaciones son correctas
a) | ‖ x ‖ − ‖ y ‖ |≤ ‖ x − y ‖
b) ‖ x ‖>‖ y ‖ ⇒ x > y
c) ‖ x + y ‖=‖ x ‖ ⇒ y = 0
321. Averiguar si las siguientes afirmaciones son correctas
a) ‖ x ‖=‖ y ‖ ⇔ x = y
b) ‖ x ‖=‖ y ‖ ⇔ < x + y, x − y >= 0
c) ‖ x + y ‖=‖ x − y ‖ ⇔ < x, y >= 0
322. Averiguar si respecto del producto escalar ordinario son ortogonales los
siguientes pares de vectores
a) (5, −2, 3) y (2, −4, −6)
b) (1, 1, 1) y (−1, −1, −1)
c) (cos x cos y, − sin x sin y, sin y) y (cos x sin y, − sin x cos y, − cos y)
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