Cuestiones de´Algebra Lineal

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c) det(λA) = λ det(A). 339. Si desarrollamos el determinante de una matriz A del tipo (n, n) por los elementos de la fila i-ésima, entonces a) ∑ n j=1 (−1)i+j a ij A ij b) ∑ n i=1 (−1)i+j a ij A ij c) ∑ n j=1 (−1)i+j a ij A ji 340. calcular los determinantes λ λ λ a) λ λ λ , ∣ λ λ λ ∣ b) ∣ sin2 x cos 2 x sin 2 y cos 2 y ∣ , c) n! (n + 1)! ∣ (n + 1)! (n + 2)! ∣ . 341. Resolver la acuación ∣ 1 sin x − sin x − sin x 1 0 sin x 0 1 ∣ = 3. 342. Si A y B son matrices (n, n), entonces det(B −1 AB t ) es igual a a) det(A) b) det(B 2 ) det(A) c) 1/det(A) 343. Si A y B son matrices del tipo (n, n), entonces det(A −1 ) = 1/det(A) y det(AB) = det(A) det(B). 344. Si A y B son matrices del tipo (n, n) invertibles, entonces det(AB ⊤ A −1 ) = det(B). 345. Si A y B son matrices del tipo (n, n) tales que det(AB) = 0, entonces det(A) = 0 o det(B) = 0. 346. El conjunto de vectores S = {u,v,w} es una base de R 3 si y sólo si el determinante de la matriz cuyas filas son los vectores de S es distinto de 0. 50
347. Sea f un endomorfismo de R n cuya matriz asociada a la base canónica tiene determinante no nulo. Entonces Nuc(f) = {0 }. 348. La matriz adjunta de una matriz triangular es triangular. 349. Si A y B son matrices del tipo (n, n) tales que rang(A) = rang(B), entonces det(A) = det(B) y recíprocamente. 350. Dadas las matrices A = con α ≠ 0, entonces a) det(A) = α 4 , b) det(A) = −det(B), c) det(A+B) = 0, ⎛ ⎜ ⎝ d) la matriz A −1 B es simétrica, e) rang(A) = rang(B). 0 0 0 α 0 0 α 0 0 α 0 0 α 0 0 0 ⎞ ⎛ ⎟ ⎠ y B = ⎜ ⎝ α 0 0 0 0 0 α 0 0 0 α 0 0 0 0 α ( ) a b 351. Dada la matriz A = tal que det(A) ≠ 0, entonces la matriz ( ) c d 2b − d d B = tiene rango 2. 2a − c c a) Verdadero, pues det(B) = 2bc − 2ad = −2det(A) ≠ 0. b) Falso, ya que rang(B) < 2 por ser sus columnas l.d. c) Verdadero, pues como B se obtiene haciendo combinaciones lineales a partir de las filas de A, entonces det(B) = detA ≠ 0. 352. Dadas dos matrices A y B del tipo (n, n) tales que det(A) det(B) = 1, entonces B es la matriz inversa de A. a) Falso, pues lo único que se puede afirmar es que ambas matrices son inversibles. b) Verdadero, pues como det(B) = 1/det(A) = det(A −1 ), es B = A −1 . c) Falso, pues la firmación del enunciado sólo es cierta cuando B = A ∗ /det(A). ⎞ ⎟ ⎠ 51
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