Cuestiones de´Algebra Lineal

59. Hallar una base de R 4 (x) que incluya los polinomios 1 y x + x 3 .
60. Sea F = {(x, y, z) | y − z = 0}. Hallar un subespacio G de R 3 tal que
F ∩ G = {0} y F + G = R 3 .
61. Se considera el conjunto F de vectores {x, y, z, u} que verifican x+2y =
z + 2u. Probar que A = {(1, 0, 1, 0), (0, 1, 0, 1)} es l.i. y está contenido
en F y extender A a una base de F .
62. Extender a una base de R 4 los siguientes conjuntos l.i.:
a) (1, 1, 1, 1), (0, 2, 1, 1)
b) (1, 0, 1, 1), (−1, −1, 0, 0), (0, 1, 1, 0).
63. Hallar una base de los siguientes subespacios de R 3 :
a) {(x, y, z) | 3x − 4y + z = 0}
b) {(x, y, z) | x + y − z = 0, 2x − y + z = 0}.
64. Si F y G son subespacios de un espacio vectorial E tales que dim(F )
= dim(G) y F ⊆ G, probar que F = G.
65. Hallar una base del conjunto de soluciones del sistema
x + 2y − z + 2t = 0 , x + y + 2z − t = 0 , x + 4y − 7z + 8t = 04
y prolongarla a una base de R 4 .
66. Sea {x 1 , . . . , x n } un conjunto l.d. de vectores de un e.v.s. K. Entonces
a) contiene al vector 0,
b) es tal que [x 1 , . . . , x n ] tiene dimensión k,
c) puede estar formada por vectores no nulos.
67. El e.v.s. R de todos 1os polinomios de grado, a lo sumo, n, tiene
dimensión
a) n + 1 b) n c) n − 1.
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