Cuestiones de´Algebra Lineal

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Matrices 129. Si A es de orden (3,3) y antisimétrica, entonces rang(A) < 3. 130. Si A es de orden (n, n) y antisimétrica, entonces rang(A) < n. 131. 0 de orden (m, n) es la única matriz de rango 0. 132. Probar que si C es una matriz en forma escalonada por filas con r filas no nulas, entonces rang(C) = r. 133. Probar que la matriz ⎛ ⎜ ⎝ 2 1 3 0 1 0 1 1 2 0 3 1 −1 0 −1 −1 134. Si λ ≠ 0, entonces rang(λA) = rang(A). ⎞ ⎟ ⎠ tiene rango 2. 135. Probar que si A tiene algún elemento no nulo, entonces rang(A) ≠ 0. 136. Sea A una matriz (n, n). El número de elementos que se encuentran por encima y por debajo de la diagonal principal es a) n(n + 1), b) n(n + 1)/2, c) n(n − 1). 137. El rango de una matriz cuadrada A coincide con a) La dimensión del núcleo de su endomorfismo asociado. b) El número de sus elementos de la diagonal no nulos. c) El número de filas no nulas de su forma escalonada. 138. Sea f una aplicación lineal de R 3 en R 3 y sea A su matriz respecto de las bases canónicas. Entonces a) f es un isomorfismo ⇔ rang(A) = 3. b) f nunca es un isomorfismo. 20
c) f es inyectiva ⇔ rang(A) = 4 139. Sean A, B ∈ M (m,n) (R). Entonces a) rang(A+B) ≤ rang(A) y rang(A+B) ≤ rang(B). b) rang(A+B) = max(rang(A),rang(B)). c) rang(A+B) = rang(A)+rang(B). 140. Sea A ∈ M (m,n) (R), con m ≤ n. Entonces a) m ≤ rang(A) ≤ n. b) n ≤ rang(A). c) rang(A) ≤ m. 141. La dimension del espacio vectorial M (m,n) (R) es m + n. 142. Sea f una aplicación del espacio vectorial M (n,n) (R) en sí mismo tal que f(A) = P −1 AP, donde P es una matriz regular. Probar que es lineal. 143. Probar que el conjunto de todas las matrices triangulares superiormente forman un espacio vectorial. 144. Probar que el conjunto de todas las matrices antisimétricas forman un espacio vectorial. 145. Hallar un conjunto l.i. de matrices diagonales que generen todas las matrices diagonales de M (n,n) (R). 146. Si A es una matriz escalonada, probar que sus filas son vectores l.i.. 147. Hallar una base del espacio vectorial de todas las matrices (n, n) que tienen traza cero y de todas las matrices antisimétricas. 148. Averiguar si los siguientes tres conjuntos tienen estructura de e.v.s. R con las operaciones habituales a) el conjunto de las n-plas (x, x, . . . , x) con x real, 21
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Page 61 and 62: ) A es una matriz diagonal, c) como

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