Cuestiones de´Algebra Lineal

Espacios vectoriales
1. Prueba que cada uno de 1os siguientes conjuntos no tiene estructura
de espacio vectorial
a) El subconjunto de R 2 de parejas (x, y) con x ≥ y
b) El conjunto de parejas (x, y), en donde la suma se define como en
R 2 , pero el producto se define λ(x, y) := (λx, y)
c) El conjunto de polinomios de grado, a lo sumo 1 , en donde suma y
producto se definen de la forma siguiente:
(P + Q)(x) := (a 0 + b 0 ) + (a 0 b 1 + a 1 b 0 )x ; (λP )(x) := (λa 0 ) + (λa 1 )x.
d) El subconjunto de R 3 de puntos (x, y, z) con x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1.
e) El subconjunto de R 3 de puntos (x, y, z) con x + y + z = 1
f) El subconjunto de R 3 de puntos (x, y, z) con x ≥ y ≥ z.
2. Sea E e.v.s. K. Entonces
a) {x + y | x ∈ E, y ∈ E} = E × E
b) {x + y | x ∈ E, y ∈ E} = E
c) {λx | x ∈ E} = K × E.
3. La multiplicación por un escalar en un e.v.s. K es una aplicación
a) E × E → K b) K × K → K c) K × E → E.
4. Averiguar si los siguientes conjuntos tienen estructura de e.v.s. R
a) {(x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) ∈ R 4 | x 4 = 0},
b) el conjunto de todos los polinomios con coeficientes reales,
c) el conjunto de las funciones reales de una variable derivables.
5. Un subespacio siempre contiene a1 vector 0 del espacio vectoria1.
6. El subconjunto de R 2 de los puntos (x, y) tales que x 2 − y 2 = 1 es un
subespacio.
7. Si F es un subespacio de E, entonces F + F = F .
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