Cuestiones de´Algebra Lineal

95. Hallar Im(f) y Nuc(f) para las siguientes aplicaciones lineales de R 4
en R 5 :
a) f(x, y, z, u) = (5x − y, x + y, z, u, x)
b) f(x, y, z, u) = (x + y + 7z + u, 2z + u, x, y, x − y).
96. Sea f una aplicación de E en F . Probar que:
a) si dim(E) < dim(F ), f no puede ser sobreyectiva,
b) si dim(E) > dim(F ), f no puede ser inyectiva.
97. Dar un ejemplo de endomorfismo f en R 2 tal que Nuc(f) = Im(f).
98. Si {x 1 , . . . , x n } es un sistema de generadores de E (pero no necesariamente
una base), explica por que una aplicacion lineal f de E en F no
viene definida al asignar imagenes mediante f a cada x i , (i = 1, . . . , n).
99. Si f es un endomorfismo en E tal que Im(f) ∩ Nuc(f) = 0, probar que
f(f(x)) = 0 implica que f(x) = 0.
100. Sea f un endomorfismo en E y sea (x 1 , . . . , x n ) una base de E. Si f es
biyectivo, probar que (f(x 1 ), . . . , f(x n )) es también una base de E.
101. Sea f un endomorfismo en E y F un subespacio de E. Si f es biyectivo,
probar que dim(F ) = dim(f(F )).
102. Sea A = (x 1 , x 2 , . . . , x n ) una base de R n y f un endomorfismo de R n
tal que f(x i ) = x i+1 y f(x n ) = 0. Entonces
a) f es inyectivo.
b) f es sobreyectivo.
c) ninguna de las dos cosas.
103. Sea (x 1 , x 2 , . . . , x n ) una base de un espacio vectorial E y f un endomorfismo
de E. Una de las siguientes afirmaciones no es correcta
a) Si f(x i ) = 0, para todo i, entonces f = 0.
b) (f(x 1 ), f(x 2 ), . . . , f(x n )) es siempre base de E
c) Si f(x i ) = x i , para todo i, entonces f = I E .
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