Cuestiones de´Algebra Lineal

110. Si f es una aplicación lineal de E en F , con dim(E) = n y dim(F ) = m,
entonces su matriz asociada es del tipo (m, n).
111. Permutar el orden de dos vectores de la base la base produce una permutación
en el orden de las columnas de la matriz de la aplicación.
112. Sea f un endomorfismo de R 2 tal que f(1, 0) = (1, 4) y f(1, 1) = (2, 5).
Hallar f(2, 3) y estudiar si f es inyectiva.
113. Sea f la aplicación de R 3 en R 2 tal que f(x, y, z) = (x, y). Probar que
es lineal y que f 2 = f.
114. Sea f la aplicación de R 3 en R 2 tal que f(x, y, z) = (x + a, x − y + z),
con a un cierto número real, entonces f es una aplicación lineal para
todo valor de a es
a) verdadero pues f es la aplicación ( lineal cuya ) matriz asociada respecto
1 + a 0 0
de las bases canónicas es
,
1 −1 1
b) verdadero pues la función f verifica la condición de aplicación lineal,
c) falso ya que f(0, 0, 0) ≠ (0, 0) si a ≠ 0,
d) falso ya que f es aplicación lineal sólamente si a = 0.
115. Sea f la aplicación lineal de matriz asociada ( respecto ) de las bases
1 0 0
canónicas es de R 3 y R 2 , respectivamente
y sean los
1 −1 0
subespacios
F = {x ∈ R 3 | f(x) = 0}
G = {y ∈ R 2 | (∃x ∈ R 3 )y = f(x)}.
Entonces dim(F ) = dim(G) = 2 es
a) falso pues F y G no pueden tener la misma dimensión ya que F ⊆ R 3
y G ⊆ R 2 ,
b) falso ya que dim(G) = 2 y dim(F ) = 1,
c) verdadero pues dim(F ) = dim(G) = rang(A) = 2.
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