Cuestiones de´Algebra Lineal

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Determinantes 327. Sea A una matriz (3,3) con det(A) = 5. Entonces, no es cierto que a) det(2A −1 ) = 8/5 b) det( (2A) −1 ) = 1/40 c) det(3A) = 125. 328. Probar que no es posible que 1os seis sumandos que intervienen en el cálculo de un determinante (3,3) sean todos ellos positivos. 329. Sin desarrollar los siguientes determinantes probar que su valor es 0 15 16 17 1 1 1 x − y y − z z − x 18 19 20 a b c y − z z − x x − y ∣ 21 22 23 ∣ ∣ b + c a + c a + b ∣ ∣ z − x x − y y − z ∣ . 330. Escribir ∣ x + a y + b z + c 1 2 3 4 1 2 como suma de dos determinantes. ∣ ⎛ 331. Sabiendo que la matriz A = ⎝ escribir como el producto ⎛ ⎞ ⎛ a 2 −2a 1 ⎝ b 2 −2b 1 ⎠ ⎝ c 2 −2c 1 calcular det(A). ⎞ 1 1 1 a b c ⎠ a 2 b 2 c 2 0 (a − b) 2 (a − c) 2 (b − a) 2 0 (b − c) 2 (c − a) 2 (c − b) 2 0 ⎞ ⎠ se puede 332. Si A = A −1 ¿ Cuáles son los posibles valores de det(A) 333. Sea A una matriz (n, n) antisimétrica. Si n es impar, prueba que det(A) = 0. ¿Qué se puede afirmar del determinante 0 x y −x 0 −z ∣ −y z 0 ∣ 334. Realizar el producto de matrices 48
⎛ ⎝ 1 0 0 0 0 1 0 1 0 ⎞ ⎛ ⎠ ⎝ y hallar 1 α α 2 α 2 1 α ∣ α α 2 1 ∣ . 1 α α 2 α 2 1 α α α 2 1 ⎞ ⎛ ⎠ ⎝ 1 −α 0 0 1 0 0 0 1 ⎞ ⎠ 335. Para sucesivos valores de n calcular el detenrminante de la matriz de Fibonacci de orden (n, n) ⎛ ⎞ 1 1 0 ... 0 0 −1 1 1 ... 0 0 0 −1 1 ... 0 0 ⎜ ... ... ... ... ... ... ⎟ ⎝ 0 0 0 ... 1 1 ⎠ 0 0 0 ... −1 1 y deducir que se obtiene como valor el término n-ésimo de la sucesión de Fibonacci (2,3,5,8,13,...). 336. Probar que todo polinomio a n x n +. . .+a 1 x+a 0 puede expresarse como el determinante ⎛ ⎞ x 0 0 ... 0 a 0 −1 x 0 ... 0 a 1 0 −1 x ... 0 a 2 ⎜ ... ... ... ... ... ... ⎟ ⎝ 0 0 0 ... x a n−1 ⎠ 0 0 0 ... −1 a n 337. Si B se obtiene a partir de A del tipo (n, n)) mediante transformaciones elementales de filas, entonces es falso afirmar que a) det(A) = 0 ⇔ det(B) = 0, b) det(A) = det(B), c) det(A) = λ det(B). para un λ ≠ 1 338. Si A, B y C son matrices (n, n)), entonces a) det(ABC) = det(BA) det(B) det(C), b) det(A+B) = det(A)+det(B), 49
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