CUAD. CONTROL I.pdf - Profe Saul

CONTROL IUNIDAD ICONCEPTOS BÁSICOS DE CONTROL.1.1.-DEFINICIONES…………………………………………..……………………..3Entrada, Salida , Planta , Sistema, Control, Sistema de Control, Linealización , LazoAbierto ,Lazo Cerrado ,Sistema Lineal , Sistema No Lineal ,Variable Controlada ,Variable Manipulada , Histeresis , Fricción , Linealización , Función de Transferencia ,Diagramas a Bloques y Flujo de Señal.UNIDAD IIMODELADOS MATEMATICOS DE SISTEMAS FISICOS.2.1.-ELECTRICOS……………………………….…………………………….……162.2.-MECANICOS: Traslación y Rotación………………………………….………172.3.-HIDRÁULICOS……………………………………………………….………..252.4.-NEUMÁTICOS…………………………………………………………………272.5.-FUNCION DE TRANSFERENCIA Y ANALOGICAS………………….…….29UNIDAD IIIANÁLISIS DE RESPUESTA EN EL TIEMPO.3.1.-DEFINICIONES…………………………………………………………………32Respuesta Transitoria, Respuesta Estacionaria, Señales de Entrada( Impulso Unitario, Escalón Unitario, Rampa Unitaria ).3.2.-SISTEMAS DE PRIMER ORDEN……………………………………………..373.3.-SISTEMAS DE SEGUNDO GRADO…………………………………………..403.4.-SISTEMAS DE ORDEN SUPERIOR…………………………………………..47UNIDAD IVMODOS DE CONTROL4.1.- MODOS DE CONTROL: On-Off ,On-Off con Brecha Diferenciada ,P , I , D, P-I ,P-D , P-I-D…………………………………………………………….484.2.- SINTONIZACIÓN Y OPTIMIZACIÓN……………………………………….541

UNIDAD VESTABILIDAD5.1.-CRITERIO DE ESTABILIDAD DE ROUTH-HURWITZ…….………………575.2.-LUGAR DE LAS RAICES……………………………………………………..60UNIDAD VIANÁLISIS DE ERROR6.1.-ERRORES ESTÁTICOS Y DINÁMICOS…….………………………………..626.2.-SENSIBILIDAD…………………………………………………………………63TABLASTransformadas de Laplace………………………………..…………………………..64Algebra de bloques……………………………………………………….…………..66BibliografíaIngeniería de control modernaKatsuhiko OgataPrentice hall 4ta ediciónIng. de control analógica y digitalRina NavarroMC. Graw HillIntroducción a la Ing. de control automáticoRodrigo ÁvilaMC Graw HillSistemas de Control AutomáticoBenjamin C. kuoed. Prentice hall.2

UNIDAD ICONCEPTOS BÁSICOS DE CONTROL.1.1.-DEFINICIONESIntroducción a los sistemas de control.El control automático ha desempeñado una función vital en el avance de la ingeniería yla ciencia debido a los avances en la teoría y la practica del control automático. Sonmuchas las áreas de la industria beneficiadas como por ejemplo las áreas espaciales,automotrices, médicas, etc. Ya que ya que un desempeño optimo de los sistemasdinámicos han mejorado la productividad y aligeran la carga de muchas operacionesmanuales y repetitivas.Conceptos de sistemas de control.Variable controlada:Es la cantidad o condición que se mide y controla, por lo común la variable controladaes la salida del sistema. Controlar significa medir el valor de la variable controlada delsistema y aplicar la variable manipulada al sistema para corregir la desviación.Variable manipulada:Es la cantidad o condición que el controlador modifica para afectar el valor de lavariable controlada.Sistema:Es la combinación de componentes que actúan juntos y realizan un objetivodeterminado.Planta:Es el elemento físico que se desea controlar. La planta puede ser un motor, un horno, unsistema de navegación etc.Señal de salida:Es la variable que se desea controlar (posición, velocidad, presión, Temp.) También sele llama variable controlada.3

Unidad de control MotorV (t) E (t)KPlantaY (t)C(t)SensorMotor de 12 volts – 1100 R/MLa variable manipulada seria el voltaje por que lo manipulamos para obtener lavelocidad angular. La velocidad seria la señal de salida o variable controlada. Untacogenerador conectado con el motor o planta , el tacogenerador seria el sensor y nosdetectara la variable manipulada y poder hacer la relación por ejemplo:0 volts = 0 R/M6 volts = 550 R/M12 volts = 1100 R/MSistemas de controlSistema de control realimentado o sistema de lazo cerrado:Es un sistema que mantiene una relación preescrita entre la salida y la entrada dereferencia comparándola y usando la diferencia como medio de control.Sistema de control de lazo abierto:En estos sistemas de control la señal de salida no es monitoreada para generar una señalde control. En cualquier sistema de control de lazo abierto, la salida no se compara conla entrada de referencia.Sistemas de control en lazo cerrado en comparación con los sistemas en lazoabierto:Como se podrá observar en las definiciones el control de lazo cerrado nos da en nuestraplanta un comportamiento automático, sin necesidad de un operador humano.En cambio, en un sistema de lazo abierto, todo el proceso de control se hace en base aun operador humano, toda operación es manual.Señal de referencia:Es el valor que se desea que alcancé la señal de salida.4

Error:Es la diferencia entre la señal de referencia y la señal de salida real.Señal de control:Es la señal que produce el controlador para modificar la variable controlada de talforma que se disminuye o elimine el error.Perturbación:Es una señal que tiende a afectar la salida del sistema desviándola del valor deseado.Control realimentado:Se refiere a una operación que en presencia de perturbaciones, tiende a reducir ladiferencia entre la salida de un sistema y alguna entrada de referencia y lo continúahaciendo en base a esta diferencia.Ejemplo de lazo abierto:Ejemplo de control de lazo cerrado:5

Diagrama a bloquesNiveldeseadoControladorVálvulaneumáticaTanque deaguaNivel de aguaFlotadorSistemas linealesUn sistema lineal se define como aquel cuyo comportamiento puede describirse con unconjunto de ecuaciones diferenciales lineales ordinarios de primer orden. También sedenomina lineal si se aplica el principio de superposiciónPrincipio de superposición:Este principio establece que la respuesta producida por la aplicación simultanea de 2funciones de excitación o entradas diferentes, es la suma de 2 respuestas individuales.Sistema de control invariante en el tiempo:Es un sistema de control de coeficientes constantes, es aquel en el que los parámetros novarían en el tiempo. La respuesta del sistema es independiente del tiempo en el que seaplica la entrada. Se refiere al controlador, debe de tener una condición la entrada con elcontrolador deben ser iguales esta en sincronía.Sistema de control variante en el tiempo:Es aquel en el cual los parámetros varían con el tiempo, su respuesta dependen deltiempo en el que se aplica una entrada.Sistemas dinámicos:Es aquel si su salida en el presente depende de una entrada en el pasado.Sistema estático:Es aquel si su salida en curso depende solamente de la entrada en curso.6

Diferencias entre sistema dinámico y sistema estático:La salida de un sistema estático permanece constante si la entrada no cambia, cambiasolo cuando la entrada cambia.En el sistema dinámico la salida cambia con el tiempo cuando no esta en su estado deequilibrio.Modelo matemático de sistemas lineales.Introducción:Un modelo matemático de un sistema dinámico, se define como un conjunto deecuaciones que presentan la dinámica del sistema. Un modelo matemático no es únicopara un sistema determinado; Puede representarse en muchas formas diferentes, por loque puede tener muchos modelos matemáticos.Función de transferencia:La función de transferencia de un sistema descrito mediante una ecuación diferenciallineal e invariante en el tiempo se define como:“El cociente entre la transformada de Laplace de salida (Función respuesta) y latransformada de Laplace de la entrada (Función de excitación) cuando las condicionesiniciales son cero”.LF.T = G (s) = ( Salida )L( m)( m−1)y(s)b0s+ b1s+ ..... + b=( n)( n−1)0 x a + a + ..... + am−1s+ b+ a( Entrada) ( s)0s1sn−1snA partir de la F.T, es posible representar la dinámica de un sistema mediante funcionesalgebraicas en “S”.Si la potencia más alta de “S” en el denominador de la función de transferencia es iguala n, el sistema se denomina de n-esimo orden.Sistema en el dominio de tiempo (ec. dif.)mr (t) e (t) K c (t) Plantay (t)u (t)Sensor7

(t) = señal set point ó referenciae (t) = señal errorc (t) = señal de controly (t) = señal de salidau (t) = señal del sensorSistema en el dominio de la frecuencia. (Función transferencia)R (s) E (s) K C (s) PlantaY (s)U (s)SensorDiagrama a bloquesUn diagrama a bloques de un sistema, es una representacion grafica de las funcionesque lleva acabo cada componente, así como también el flujo de señales. Estosdiagramas muestran las relaciones existentes entre los diversos componentes. Adiferencia de la representación matemática abstracta, un diagrama a bloques tiene laventaja de indicar en forma más realista el flujo de las señales del sistema real.En diagrama a bloques se enlazan una con otra todas las variables de sistema, mediantebloques funcionales. Un bloque funcional o “bloque”, es un símbolo para representar laoperación matemática que sobre la señal de entrada hace el bloque para producir lasalida. Las funciones de transferencia de los componentes por lo general se introducenen bloques correspondientes, que se conectan mediante flechas para indicar la direcciónde flujo de señal.F.TG (s)Bloque funcional ó “Bloque”- Observe la punta de flecha que señala al bloque; que indica la “entrada” y la punta deflecha que se aleja del bloque representa la “salida”.Las flechas se les llama “señales”. Las ventajas de la representación mediante diagramaa bloques de un sistema estriban en que es muy fácil de formar el diagrama a bloquesgeneral de todo el sistema, con solo conectar los bloques de los componentes de acuerdocon el flujo de señales y que es posible evaluar la contribución de cada componente aldesempeño general del sistema.8

Simbología:• Bloque ó bloque funcional.Entrada(señal)G (s)Salida(señal)• Punto suma ó diferencia: Es un círculo con una cruz, es el símbolo que indicauna operación de suma. El signo (+) ó (-) en cada punta de la flecha indica si laseñal debe sumarse ó restarse. Es importante que las cantidades que se sumen oresten tengan misma direcciones o unidades.aa-bb• Punto de ramificación: Es aquel a partir del cual, la señal de un bloque va demodo concurrente a otros bloques ó punto suma.C (s)C (s)Tipos de conexiones en bloques:• Conexiones serieX (s)G 1(s)Y (s)G 2(s)Z (s)Estos bloques se multiplicanX (s)G 1(s) G 2(s)Z (s)F.T = XZ = G1(s) G 2(s)9

• Conexiones paralelos:X (s)G 1(s)+Y (s)+G 2(s)Estos bloques se sumanXG 1(s) +G 2(s)YRegla detransformaciónSistema originalSistema equivalente1 Conexión en serieaG 1 G 2baG 1 G 2b2 Conexión en paraleloaG 1baG 1 +G 2bG 23 Retroalimentación(negativo ó positivo)bGHbaG1±GHb4 Mover el punto deseparación “después” deun bloqueaaGbaaG1Gb5 Mover el punto deseparación “antes” de unbloqueaGbbbGaGb10

6 Mover el comparadorantes de un bloqueabGcaGGcb7 Mover el comparadordespués de un bloqueaGbcaG1Gcbbbaba+b-caca+b-c8 Cambiar el orden delcomparadorcbaa+b-ccSistemas básicos: son 2 los importantesR (s)E (s)G (s)C (s)C (s) = E (s) G (s)E (s) = R (s) -C (s)R (s)E (s)G (s)C (s)B (s)H (s)C (s) = E (s) G (s)E (s) = R (s) -B (s)B (s) = C (s) H (s)11

Obtener la F.T del bloque (1)F.T =CR( s)( s)=outinR (s)E (s)G (s)C (s)C (s) = E (s) G (s) ………1E (s) = R (s) -C (s) ………2Sustituir la función 2 en 1C (s) = [R (s) -C (s) ] G (s)C (s) = R (s) G (s) -C (s) G (s)C (s) + C (s) G (s) = R (s) G (s)C (s) [1+G (s) ] = R (s) G (s)CR( s)( s)G(s)= Función de transferencia del modelo básico1+G )(( s)Obtener, encontrar la F.TR (s)B (s)E (s)G (s)H (s)C (s)F.T =CR( s)( s)C (s) = E (s) G (s) ………1E (s) = R (s) -B (s) ………2B (s) = C (s) H (s) ………3La ec. 3 sustituir en ec. 2E (s) = R (s) – [C (s) H (s) ]Sustituir la ec. 2 en ec. 1C (s) = [R (s) -C (s) H (s) ] G (s)C (s) = R (s) G (s) -C (s) H (s) G (s)12

C (s) + C (s) H (s) G (s) = R (s) G (s)C (s) [1+H (s) G (s) ] = R (s) G (s)CR( s)( s)G(s)= F.T1+H G ][( s)( s)Reducción de diagrama a bloques.Es importante señalar que los bloques pueden conectarse en serie solo si la entrada deun bloque no se ve afectada por el siguiente bloque. Si hay efectos de carga entre loscomponentes es necesario combinarlos en un bloque único.Cualquier cantidad de bloques en cascada que represente componentes sin carga puedensustituirse con un solo bloque cuya función de transferencia sea simplemente elproducto de las función de transferencia individuales, un diagrama de bloquescomplicado que contenga muchos lazos de realimentación se simplifican mediante unreordenamiento paso a paso mediante las reglas de algebra de bloques de los diagramasa bloques.La simplificación de un diagrama a bloques mediante reordenamiento y sustitucionesreduce de manera considerable la labor necesaria para el análisis matemáticosubsecuente. Sin embargo, debe señalarse que conforme se simplifica el diagrama abloques, las funciones de transferencia de los bloques nuevos se vuelven más complejasdebido a que se generan polos y ceros nuevos. Al simplificar un diagrama a bloquesrecuerde lo siguiente:1.- El producto de las funciones de transferencia en la dirección de la trayectoria directadebe ser el mismo.2.- El producto de las funciones de transferencia alrededor del lazo debe ser el mismo.H 2R (s)G 1H 1G 2 G 3C (s)Aplicamos reglas de algebra DAB hacemos quese pase al otro lado.13

H 2 /G 1R (s)G 1H 1G 2 G 3C (s)H 2 /G 1R (s)G 1 G 2H 1G 3C (s)H 2 /G 1R (s)G 1 G 21-H 1 G 1 G 2G 3C (s)H 2 /G 1R (s)G 1 G 2 G 31-H 1 G 1 G 2C (s)14

G1G 2G3G1G 2G31−H1G1G21−H1G1G2=⎡ H ⎤⎡2G1G 2G⎤ G31H2G2G1+⎢1G⎥⎢11 H1G G1G⎥+⎣ ⎦⎣−2 ⎦1 1 1G1G 2G31−H1G1G2==1−H1G1G2+ H2G2G31−H G G1123( 1−H G G )2G1G 2G31−H1G1G2=H2G2G31+1−H G G1G1G 2G3( 1−H1G1G2)G1G 2G3=( 1−H1G1G2)( 1−H1G1G2+ H2G2G3) 1−H1G1G2+ H2G2G312=R (s) G 1 G 2 G 31-H 1 G 1 G 2 +H 1 G 1 G 2C (s)Modelo básicoCR( s)( s)=G( s)( 1+G())sR (s)G (s)C (s)CR( s)( s)G1G 2G31−H1G1G2+ H2G2G3=G1G 2G31+1−H G G + H G G112223G1G 2G31−H1G1G2+ H2G2G3=1−H1G1G2+ H2G2G3+ G1G 2G1−H G G + H G G1122233CR( s)( s)=G1G 2G3( 1−H1G1G2+ H2G2G3)( 1−H G G + H G G )( 1−H G G + H G G + G G G )112223112223123CR( s)( s)G1G 2G3=1−H G G + H G G + G G G11222312315

UNIDAD IIMODELADOS MATEMATICOS DE SISTEMAS FISICOS.Sistemas dinámicosSon aquellos sistemas físicos no estáticos y que siempre nos representa variables, porejemplo: sistemas eléctricos – electrónicos, el movimiento de los electrones (relaciónvoltaje – corriente); sistemas mecánicos, engranes, bandas, poleas, etc.; en los sistemashidráulicos, movimiento de fluidos a través de un control de flujo o recipientes.En la mayoría de los sistemas de control contienen componentes tanto mecánicos comoeléctricos, aunque algunos sistemas tienen elementos neumáticos e hidráulicos. Desde elpunto de vista matemático, la descripción de los elementos mecánicos y eléctricos sonanálogos, de hecho se puede demostrar, que dado un dispositivo eléctrico normalmenteexiste una contraparte matemática-mecánica, análoga y viceversa.2.1.- ELÉCTRICOSSistema eléctricoI i (t)I i (t)I cV(t)I 0 (t)RObtener F.TV ( s)I ( s)iEcuación diferencial:I ( t)= I ( t)I0(t)Ii C+C( t)= I ( t)− I0(t)idV ( t)C = Ii ( t)− I 0( t)………(1)dtV ( t)I0 ( t)= ………(2)REcuación Laplace:CSV ( s)= Ii ( s)− I0(s)16

I ( s)0=V ( s)RSustituir I 0 (s)V ( s)CSV ( s)= Ii( s)−RV ( s)CSV ( s)+ = Ii( s)R⎛ 1 ⎞V ( s)⎜CS+ ⎟ = Ii( s)⎝ R ⎠V ( s)1=Ii ( s)⎛ 1 ⎞⎜CS+ ⎟⎝ R ⎠2.2.- MECÁNICOS: TRASLACIÓN Y ROTACIÓN.Sistemas mecánicosMovimiento de traslación:Se define como un movimiento que toma lugar a lo largo de una línea recta, susvariables son la aceleración, desplazamiento y la velocidad, donde la segunda ley deNewton establece:“F = m a” ó “Σ F = m a”Masa:Es la propiedad de un elemento de almacenar energía cinética del movimiento detraslación, como comentario podemos decir que la masa es análoga a la inductancia enun circuito eléctrico.Si w = peso del cuerpowm =gDonde g: es la aceleración de la caída libre de un cuerpo debido a la gravedad g = 9.80m/seg 2 Unidades Masa (m) Aceleración FuerzaS.I. Kilogramos (Kg.) m/s 2 Newton (N)Británicas slug pies/s 2 Libra (lb-fza)Resorte lineal:Es considerado como un modelo de resorte real o como una banda o cable. Es unelemento que almacena energía potencial (es la energía que tienen los cuerpos capaces17

de realizar un trabajo mecánico debido a la posición que ocupa dentro de un campo defuerza); es análogo al capacitor en un circuito eléctrico.El comportamiento de un resorte con deformación pequeña se aproxima a la relación:Donde K = constante de resorte (rigidez)F(t) = K y(t)UnidadesS.I.BritánicasCte. de resorte KN/mLb/piesf(t) = K y(t)Esta ecuación implica que la fuerza que actúa en el resortedirectamente proporcional (deformación) del resorte.y(t)KF(t)Sistema fuerza - resorteSi el resorte es precargado con una tensión (T), la ecuación:f(t) – T = K y(t)18

Relación Fza.-Velocidad, Fza.-desplazamiento e Impedancia para resorte masa,amortiguador traslacional.ComponenteFuerza-velocidadFuerzadesplazamientoImpedanciaZm ( s)=F(s)X ( s)Resortex(t)f(t)∫tf ( t)= K V ( t)dt f ( t)= Kx(t)K0Amortiguadorx(t)f(t)f ( t)= bV ( t)dx(t)f ( t)= bdtbsB = fricciónb = f vb = coeficiente de fricciónviscosamMasax(t)f(t)2dV ( t)d x(t)f ( t)= mf ( t)= mms 22dtdtPodemos observar entonces que el resorte es análogo al capacitor, el amortiguador esanálogo a la resistencia y la masa es análoga al inductor.En consecuencia sumar fuerzas escritas en términos de velocidad es análogo a sumarvoltajes escritos en términos de corriente y las ecuaciones diferenciales mecánicasresultantes son análogas a las ecuaciones de malla. Si las fuerzas se escriben entérminos de desplazamiento, las ecuaciones resultantes se asemejan pero no sonanálogas a las ecuaciones de malla.El sistema mecánico solo requiere de una ecuación diferencial, llamada ecuación delmovimiento, para poder describirlo, empezaremos por su poner una dirección positivade movimiento, por ejemplo a la derecha. Esta supuesta dirección positiva demovimiento es semejante a suponer una dirección de corriente en un circuito eléctrico.Mediante el uso de nuestra dirección supuesta de movimiento positiva, primerodibujamos un diagrama de cuerpo libre colocando en el cuerpo todas las fuerzas queactúan sobre este, ya sea en dirección de movimiento o en sentido opuesto a este, a19

continuación usamos la ley de Newton para formar una ecuación diferencial, al sumarlas fuerzas y hacer las sumas igual a cero, suponiendo condiciones iniciales a cero,posteriormente convertimos estas ecuaciones a Laplace para obtener la función detransferencia.Modelo mecánico masa-resorte-amortiguadorf(t)mKbX(t)f = fuerza aplicadak = constante del resortem = masa del cuerpob = coeficiente del amortiguador (fricción viscosa)x = desplazamientofmKK y b sondirectamenteproporcionalesb• Si aplicamos la 2da derivada del desplazamiento (x)nos da la aceleración (a).• Si aplico la 1ra derivada al desplazamiento (x) nos dala velocidad (v).• F = ma + b(v) + K(x)Diagrama cuerpo libreObtener la F.T. La fuerza esta en función del desplazamientoEntrada: la fuerza aplicada F(s)f(t)KSalida: el resultado del desplazamiento X(s)mbX(t)X ( s)F.T =F(s)F = ma + b(v) + KXEcuación diferencial:2d x(t)dx(t)f ( t)= m + V + KX ( t)dt dtEcuación en Laplace20

2F ( s)= mS X ( s) + bSX(s) + KX(s)2( mS + bS K )F ( s)= X ( s)+X ( s)F(s)=2mS1+ bS + KFunción de transferencia.Movimiento de rotaciónSe define como el movimiento alrededor de un eje fijo. La ley de Newton para elmovimiento de rotación establece:ΣFuerzas = J αJ = Inerciaα = aceleración angularLas otras variables que se usan generalmente para describir el movimiento de rotaciónson: par (T) torsión y la velocidad angular (W) así como el desplazamiento angular (θ).Inercia: la inercia (J) se considera a la propiedad de un elemento de almacenar energíacinética de movimiento de rotación. La inercia de un elemento dado, depende de lacomposición geométrica alrededor del eje de rotación y su densidad.Por ejemplo la inercia de un disco circular ó eje alrededor de su eje geométrico estadado por:J = ½ m r 2Cuando un par es aplicado a un cuerpo con inercia “J”, como se muestra en la figura:T(t)Jθ(t)T ( t)= Jα ( t)= Jd2θdt( t)Sistema par-inerciaEn donde:θ(t) = Desplazamiento angularW(t) = Velocidad angularα(t) = Aceleración angularUnidades Inercia Par-Torsión Desplazamiento AngularS.I. Kg-m 2 N-m rad21

Conversión entre movimientos de traslación y rotación.En sistemas de control de movimiento a menudo ó casi siempre es necesario convertirmovimiento de rotación en movimiento de traslación.Por ejemplo, una carga (peso) se puede controlar para que se mueva a lo largo de unalínea recta mediante un motor giratorio junto con un tornillo sin fin.2W ⎛ L2 ⎟ ⎞J = ⎜X(t)g ⎝ π ⎠T(t) θ(t)W = Peso del cuerpoMotorWL = Distancia lineal que viaja elpeso por las revoluciones/min.g = Aceleración de la gravedadTornillo sin finSistema de control de movimiento rotatorio a lineal (tornillo sin fin)Sistema de control cremallera – piñónX(t)WrPiñónθ(t)Engrane recto ócremallera2J = mr =Wgr2Motor de manejoT(t)Trenes de engranes, palancas mecánicas, bandasUn tren de engrane, una palanca o una banda sobre una polea son dispositivosmecánicos que transmiten energía desde una parte del sistema a otro en forma tal que sealteran la fuerza, el par torsión, la velocidad y el desplazamiento. Estos dispositivosconsiderados de acoplamiento son empleados para lograr la máxima transferencia depotencia.T 1 θ 1N 1Engrane rectoN 2T 2 θ 222

La unión de engrane-engrane produce más potencia, que un mecanismo de una polea aun engrane.En este tren de engranes se presentan 2 engranes acoplados en este caso la fricción y lainercia son despreciables.Las relaciones entre los pares T 1 y T 2 , los desplazamientos angulares θ 1 y θ 2 así comolos números de dientes N 1 y N 2 , se obtiene los siguiente:1.- El numero de dientes sobre la superficie de los engranes es proporcional a los r1 yr2 delos engranes, esto es:R 1 N 2 = R 2 N 12.- La distancia sobre la superficie que viaja cada engrane es la misma, por tanto:θ 1 r 2 = θ 2 r 13.- El trabajo realizado de un engrane es igual al que realiza otro ya que se supone nohay perdidas.T 1 θ 1 = T 2 θ 1En la practica los engranes, trenes, inercia y fricción entre los dientes de loe engranesacoplados que no se pueden despreciar. En la práctica no se desprecia la fricción ytemperatura.Bandas y poleasLas bandas y poleas sirven para el mismo propósito que el tren de engranes, excepto quepermiten transferencia de energía sobre una distancia mayor sin utilizar un numeroexcesivo de engranes.T 1 θ 1T 2 θ 2r 1r 2Los mecanismos son piezas cilíndricas de material sólido con ranuras simétricas a sualrededor. Los engranajes transmiten un movimiento giratorio de un eje a otro.Engranaje recto: Se emplean para conectar árboles cuyos ejes son paralelos.23

Funciones de transferencia en sistema mecánico rotacionalLos sistemas mecánicos rotacionales se manejan en la misma forma que los sistemasmecánicos traslacionales, excepto que un par sustituye a la fuerza y un desplazamientoangular sustituye al desplazamiento lineal.Los componentes mecánicos para los sistemas rotacionales son los mismos que para lossistemas traslacionales, salvo que los componentes experimentan rotación en lugar detraslación.ComponentesPar-velocidadangularPar-desplazamientoangularImpedanciaZm=T(s)/θ(s)KResorteT(t)θ(t)∫T ( t)= K W ( t)dt T ( t)= Kθ( t)KAmortiguadorT(t) θ(t)T ( t)= DW ( t)dθ( t)T ( t)= DDsdtInerciaT(t)θ(t)T ( t)= JdW ( t)dtd 2θ ( t)T ( t)= JJs 2dtJUnidades del sistema mecánico rotacionalT(t) = N-m (Newton – metros)θ(t) = Desplazamiento angular rad (radianes)W(t) = Velocidad angular (rad/seg)K = Constante del resorte (N m/rad)D = Coeficiente del amortiguador rotacional (N m s/rad)I = Inercia (momento de) (Kg-m 2 )24

2.3.- HIDRÁULICOSSistema dinámico hidráulico (nivel de líquido)Flujo laminar:Es cuando las capas adyacentes del fluido viscoso fluyen en forma suave una sobre otray permanece una línea de corriente de flujo estable.Flujo turbulento:Es cuando cambia el flujo laminar a un movimiento irregular y aleatoria del fluido.Sistema hidráulicoq i (τ)hCRq 0 (τ)q = Flujoh = Nivel de liquido o alturaC = Capacidad del tanqueR = Válvula o resistencia al flujoHidráulicoHidráulicoq = Flujoh = NivelC = CapacidadR = VálvulaSistema hidráulicoq i (τ)Obtener la F.ThCRq 0 (τ)H ( s)Q ( s)iAnalogíadv(t)ic( t)= CdthqR25

Ecuación diferencial:dh(τ )q i( τ ) − q0 ( τ ) = C ………(1)dτh(τ )q0(τ ) = ………(2)REcuación Laplace:Q i( s)− Q0 ( s)= CSH ( s)Q ( τ )0=H ( s)RSustituir Q 0 (s)H ( s)Q i( s)− = CSH ( s)RH ( s)Q i( s)= CSH ( s)+R⎛ 1 ⎞Q i( s)= H ( s)⎜CS+ ⎟⎝ R ⎠H1(s)1=Qi( s)⎛ 1⎜C1S+⎝ R1⎞⎟⎠26

2.4.- NEUMÁTICOS27

2.5.- FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA Y ANALOGÍAS.Analogía de sistema eléctrico-mecánico.Como hemos visto ya, los sistemas mecánicos pueden representarse por circuitoseléctricos equivalentes. Existe similitud en las leyes de Kirchoff para sistemas eléctricosy las ecuaciones de movimiento de los sistemas mecánicos.Veamos el análisis comparativo de un circuito eléctrico analizado en malla, que nos daun circuito análogo-serie.AnalogíaMecánica Eléctrica(m) Masa (L) Inductor(K) Resorte (C) Capacitor(b) Amortiguador (R) ResistenciaLa fuerza esta en función de la velocidad.Sistema mecánicof(t)mK+Obtener la F.TV ( s)F(s)V(t)+Ecuación diferencial:dV ( t)f ( t)= K∫V ( t)+ m + bV ( t)dtEcuación en LaplaceV(s)F ( s)= K + mSV ( s)+ bV(s)S⎡ K ⎤F ( s)= V ( s)⎢+ mS + b⎣ S ⎥⎦V ( s)1=F(s)⎛ K ⎞⎜ + mS + b⎟⎝ S ⎠29

El voltaje en función de la corrienteSistema eléctricoLRObtener la F.Te(t)i(t)CI(s)E(t)Ecuación diferencial:1 di(t)e ( t)= i(t)dt + L + Ri(t)C∫dtEcuación en LaplaceI(s)E ( s)= + SLI ( s)+ RI(s)SC⎡ 1 ⎤E(s)= I(s)⎢+ SL + R⎣SC⎥⎦I(s)1=E(s)⎛ 1 ⎞⎜ + SL + R⎟⎝ SC ⎠La fuerza en función del desplazamiento.Sistema mecánico.f(t)KObtener la F.TmbX(t)X ( s)F(s)Ecuación diferencial:2d X ( t)dX ( t)f ( t)= KX ( t)+ m + bdt dt30

Ecuación Laplace2F ( s)= KX(s) + mS X ( s)+ bSX(s)2[ K + mS bS]F ( s)= X ( s)+X ( s)F(s)1K + mS= 2+ bSSistema eléctricoEl voltaje en función de la carga.LRe(t)Obtener la F.Tq(t)q(t)q(t)CQ(s)E(t)Ecuación diferencial:21 dq(t)d q(t)e(t)= q(t)+ R + LC dt dtEcuación en LaplaceE( s)= CQ(s)+ RSQ(s)+ LS⎡ 1E ( s)= Q(s)⎢+ RS + LS⎣CQ(s)1=E(s)⎛ 12 ⎞⎜ + RS + LS ⎟⎝ C ⎠⎤⎥⎦22Q(s)En los movimientos mecánicos el número de ecuaciones de movimiento necesarias, esigual al número de movimientos linealmente independientes. La independencia linealimplica que en un punto de movimiento de un sistema todavía se pueda mover si todoslos otros puntos de movimiento se mantienen inmóviles.Otro nombre para el número de movimientos linealmente independiente es el númerode grados de libertad. Este análisis no implica que estos movimientos no estánacoplados entre si; en general lo están.31

UNIDAD IIIANÁLISIS DE RESPUESTA EN EL TIEMPO.3.1.- ANALISIS A LA RESPUESTA TRANSITORIA.En esta unidad nos enfocaremos a la respuesta de los sistemas debido a una señal deentra conocida la cual puede ser:f(t)F(t)Impulso δ(t) 1Escalón unitario µ(t) ?1S1Rampa t2SExponencial e -at 1S + atEn la unidad anterior cómo se recordara se llego a la F.T por diferentes métodos (algbloques, grafico de flujo) con esto pudimos llegar a la F.T de los sistemas físicos sinimportar que voltaje de entrada tenia dicho sistema, ahora nuestro sistema tendrá unvoltaje de entrada conocido aplicado, por ejemplo:0VVi1= RSC + 1V iRV 032

Vamos a dejar al operador “S” solo, para eso dividimos numerador y denominador entreRC.VV1 ÷ RC==RSC + 1 ÷ RC1=RCSRC+ 1RC1RCS RC1+RC RC1= RC1S +RC0 =i1Si aplicamos un V i= µ ( t)=SdespejamosV 0 = V i [F.T]V0⎡ 1 ⎤ 11 ⎢ ⎥= RC⎥ = RC⎢S 1⎢ + ⎥⎡ 1S⎤S⎢S +⎣ RC ⎦ ⎣ RC ⎥⎦Pero antes, veamos la definición de la respuesta transitoria.Para la mayoría de los sistemas de control, la evaluación final del desempeño delsistema se basa en la respuesta al tiempo.F.TRespuesta en eltiempo delsistema decontrolRespuesta transitoriaRespuesta en estadoestableEs la parte de la respuesta quese hace cero cuando el tiempotiende a infinitoEs la parte de la respuesta totalque permanece después de quela respuesta transitoria se hadesvanecido.• Todos los sistemas de control presentan un fenómeno transitorio antes de alcanzar larespuesta de estado estable.• La respuesta transitoria es importante ya que es una parte significativa delcomportamiento dinámico del sistema y la desviación entre la respuesta de salida yla entrada se debe controlar antes de alcanzar el estado estable.• La respuesta de estado estable es importante, ya que indica en donde termina lasalida cuando el tiempo se hace grande.• Error de estado estable: si la salida no coincide exactamente con la referenciadeseada, se dice que el sistema tiene un error de estado estable.33

y ss(t)Estadoestable(t) = yt(t) + yss(t)RespuestatransitoriaRespuestaTransitoriaEstadoestablePregunta: ¿Cuál es el propósito de un sistema control en el dominio del tiempo?Respuesta: Es llegar lo antes posible a la respuesta de estado estable lo más rápido yreducir la respuesta transitoria.Repaso de matemáticas transformada de LaplaceFracc. Parciales- Polos distintos- Polos múltiples- Polos complejos conjugadosPolos distintos−1Lf ( s)=S=S + 3=AS( S + 1)( S + 2) ( + 1) ( + 2)[ A + B] + [ 2A+ B]( S + 1)( S + 2)ComparamosA + B =12A+ B =3Sacar valor de A2A + B = 3A + B = 1A + 0 = 2A = 2Sacar valor de BA + B = 1+BS=A( S + 2) + B( S + 1)AS + 2A+ BS +=( S + 1)( S + 2) ( S + 1)( S + 2)B=34

2 + B = 1B = 1 - 2B = -1−1L f ( s )−1L f ( s )2 −12 1= + = −S + 1 S + 2 S + 1 S + 2=−12 − 1L −S + 11LS + 2Comparamos en la tabla−1L f ( s )=−12 − 1L −S + 11LS + 2f ( t)= 2e− t− e−2tPolos múltiples−1L f ( s )2S + 2S− 2==2SAS+B+C2( S −1) S ( S −1)=[ ( S −1)] + B[ S −1]2S ( S −1)A S+ CS2=AS2− AS + BS − B + CS2S( S + 1)2S=2( A + C) + S( B − A)2S ( S + 1)− BA + C = 1B – A = 2-B = -2B = 2B – A = 22 – A = 2-A = 2 – 2A = 0A + C = 1C = 1−1L f ( s )0 2= +2S S+1( S −1)−1L f ( s )=−10 −12 −11 −11 −1L + L + L = 2 L + L2S S2( S −1) S ( S −1)1Tabla35

−1L f ( s )= 2−11LS2−−1L1( S −1)f ( t)= 2t+ etPolos complejos conjugadosLo identificamos con un S 2 multiplicando en los polos.2S + 4 + 2SF s)=2S−13S(2Lf3Ss)=2S2=+ 422( S + 4) S ( S + 4)+ 42( S + 4)2A B= +2S SCS + D A S+ =2S + 4222[ ( S + 4)] + B[ S + 4] + CS + D[ S ]2S ( S + 4)2(2=AS3− 4AS+ BS2S2− 4B+ CS2( S + 4)2+ DS2S=32[ A + C] + S [ B + D]S22( S + 4)+ 4AS+ 4BA + C = 0B – D = 34A = 04B = 4B = 1B + D = 31 + D = 3D = 3 – 1 = 24A = 0A = 0C = 0−1L f ( s )=−10L +S−11LS2+−10S+ 2=2S + 4−11LS2+S22=+ 4−11LS2+S22+( 2) 2Tabla−1L f ( s )=−11LS2+−1LS22+( 2) 2f ( t)= t + sen2t36

3.2.- RESPUESTA TRANSITORIA DE 1er. Orden1V i(s) =2SRCV 0(s)Obtener la R.T.V 0(s) = V i(s) [F.T]VF.T =V0( s)i(s)1= RC1S +RC⎡ 1 ⎤ 1⎡ 1 ⎤⎢⎥V = RC⎢ ⎥ = RC0 ⎢ 2⎣S⎥⎦ 12⎢ + ⎥⎡ 1S⎤S⎢S +⎣ RC ⎦ ⎣ RC ⎥⎦1−1LV0( s)= RC2 ⎡ 1 ⎤S⎢S +⎣ RC ⎥⎦Polo múltiple por lo tanto tendrá 3 constantes.⎡ ⎛ 1 ⎞⎤⎛ 1 ⎞ 2A⎢S⎜S + ⎟⎥+ B⎜S + ⎟ + CS−1A B C ⎣ ⎝ RC ⎠⎦⎝ RC ⎠LV 0( s)= + + ==2S S 12S +⎡ 1 ⎤S⎢S +RC⎣ RC ⎥⎦⎛ 1 ⎞ 12 1 1 2 2AS + AS + BS + B + CS S ( A + C)+ S⎜A + B⎟ + BRC RC =⎝ RC ⎠ RC2 ⎡ 1 ⎤2 ⎡ 1 ⎤S⎢S +⎥S⎢S +⎣ RC ⎦⎣ RC ⎥⎦A + C = 0A+ B = 0RCB 1 =RC RCB = 1ARCA+ B = 0+ 1 = 0RCA = -RC37

A + C = 0-RC + C = 1C = RC−1− RC 1 RC−11 −11 −11LV0(s )= + + = −RCL + L + RC L22S S 1SS S1+S +RCRCTabla−tRCV0 ( t)= −RC+ t + RCe R.T Respuesta transitoria de primer orden con Vi(s) derampa.RV 0(s)Obtener la R.T.1V i(s) = S⎡ 1 ⎤ 1V ⎡ 1 ⎤⎢⎥= RC⎥⎢⎥ = RC0 ( s ) ⎢⎣S⎦ 1⎢S+ ⎥⎡ 1 ⎤S⎢S +⎣ RC ⎦ ⎣ RC ⎥⎦1−1LV 0( s)= RC⎡ 1 ⎤S⎢S +⎣ RC ⎥⎦CPolos distintos.V 0(s) = V i(s) [F.T]1F.T = RC1S +RC−1LV 0( s)=ASB+⎡ 1 ⎤⎢S +⎣ RC ⎥⎦=⎡ 1 ⎤A⎢S +⎥+ BS⎣ RC ⎦⎡ 1 ⎤S⎢S +⎣ RC ⎥⎦=AAS + + BSRC⎡ 1 ⎤S⎢S +⎣ RC ⎥⎦S=( A + B)+ARC⎡ 1 ⎤S⎢S +⎣ RC ⎥⎦A + B = 0A 1 =RC RCA =RCA = 11RC38

A + B = 01 + B = 0B = -1−11 1 −11 −11LV0(s )= − = L − LS ⎡ 1 ⎤ S ⎡ 1 ⎤⎢S +⎥⎢S +⎣ RC ⎦⎣ RC ⎥⎦TablasV0 ( t)= 1− e−tRCV i(s) =1⎡ 1 ⎤⎢ ⎥V = RC0 ( s )1⎢1 ⎥⎢S+ ⎥⎣ RC ⎦RCV 0(s)Obtener R.TV 0(s) = V i(s) [F.T]1F.T = RC1S +RC1−1RC 1 1LV0(s )= = −1L1SRC 1+S +RCRCTablas−tRCVt= 10 ( )eRC39

3.3.- SISTEMAS DE 2do. ORDENRSLV 0V i1SCsistemas de 2do. OrdenForma general (formula base) paraC(s)=R(s)S2Wn+ 2LWnS+ Wn22Wn = frecuencia Natural (rad/seg)L = coeficiente de amortiguamiento- Casos de la respuesta transitoria de 2do. orden.1.- Subamortiguamiento0 < L < 1 Respuesta transitoria oscilatoria2.- Amortiguamiento critico (críticamente)L = 1 Respuesta inicia oscilación3.- SobreamortiguamientoL > 1 Respuesta nunca oscila4.- No amortiguamientoL = 0 Respuesta oscilatoria inestableLcoeficiente deamortiguamientorelativoPolosRespuesta escalónL = 0Jw-JwPlanoSC (t)No amortiguadot40

JwC (t)0 < L < 1-LWn-Jw2Jwn 1−L2− JWn 1−LSubamortiguadotJwC (t)L = 1-LWn-JwCríticamente amortiguadot− LWn + WnL2 −1JwPlanoSC (t)L > 1tSobreamortiguamiento− LWn −WnL2 −1-JwNota: cuando los polos se encuentran situados en el plano del lado izquierdo estesistema se considera “estable” y va a ser “inestable” cuando los polos estén a la derecha.C(s)=R(s)S22Wn+ 2LWnS+ Wn2=Wn22( S + LWn + Wn L −1)( S + LWn −WnL −1)2Wn = Frecuencia NaturalWd = Frecuencia Natural amortiguadoab =ab222( 1−L ) = −1( 1−L ) = J ( 1−)2L − 1 = −& L >>>>>?a bWd = Wn1−L2WdWn=1−L241

C(s)=R(s)Wn22( S + LWn + Wn 1−L )( S + LWn −Wn1−L )22C(s)WnR(s)= ( S + LWn + J& Wd )( S + LWn − J&Wd )Forma general 2do orden para la condición0 < L < 1Encontrar la respuesta transitoria (C(s)) de 2do de un sistema con una R(s) = 1/S parauna condición 0 < L < 1C(s)=R(s)1 ⎡C(s)=S⎢⎣Wn( S + LWn + J& Wd )( S + LWn − J&Wd )2Wn( S + LWn + J&Wd )( S + LWn − J&Wd ) ⎥ ⎦[( S + LWn + J& Wd )( S + LWn − J&Wd )]22WnC(s)= S(a+b) (a-b) = a 2 -b 2C(s)C(s)=Sa b a bWn222= sacamos a J − ( J&) = −(− −1)= 12S[ ( S + LWn) − ( J&Wd ) ]2Wn= +[( S + LWn) − ( Wd ) ] 2( S + LWn) 2+ ( Wd ) 222 2S + 2SLWn+ L Wn2 2AS⎤BS + C=A22[( S + LWn) + ( Wd ) ] + S[ BS + C]22S ( S + LWn) + ( Wd )[ ]=22 2 2[ + 2SLWn+ L Wn + Wd ] + S[ BS + C]2S[ ( S + LWn) + ( Wd ) ]2A S=AS2+ A2SLWn+S2 2AL Wn+ AWd2[( S + LWn) + ( Wd ) ]22+ BS2+ CSS=S=222( A + B) + S( A2LWn+ C)+2S ( S + LWn) + ( Wd )2AL Wn[ ]2+ AWd2 2 2[ A + B] + S[ A2LWn+ C] + A[ L Wn + Wd ]2S[ ( S + LWn) + ( Wd ) ]2242

ComparaciónA + B = 02ALWn + C = 0A[L 2 Wn 2 +Wd 2 ] = Wn 2Valor de “A”A[L 2 Wn 2 +Wd 2 ] = Wn 2 2A =A =2 2L Wn2Wn+ Wd12 WdL +Wn2221⋅ Wn1Wn22=2Wn2Wn22 Wn WdL +2Wn Wn2Si Wd = WnWd= 1−LWn2Wd2= 1−L2Wn21−L1 1A = = ∴2L + 1−L 1AValor de “B”A + B = 01 + B = 0B = -12=Valor de “C”2ALWn + C = 02LWn + C = 0C = -2ALWnSustitución de A, B y C21−1S+ ( − 2LWn)1 1S+ LWn= −( S + LWn) 2+ ( Wd ) 2 S ( S + LWn) 2+ ( Wd ) 2−1 12LC(s)= +S1 ⎡LC ( s)= − ⎢S ⎣S + LWn + LWn⎤⎥ =− 1 1⎡LC ( s)= − ⎢S ⎣−1 1⎡− ⎢S + LWn222222( S + LWn) + ( Wd ) ⎦ S ⎣( S + LWn) + ( Wd ) ( S + LWn) + ( Wd ) ⎥ ⎦S + LWnWd+LWn2222( S + LWn) + ( Wd ) Wd ( S + LWn) + ( Wd ) ⎥ ⎦⎤+LWn⎤43

⎡LC ( s)= − ⎢S ⎣−1 1S + LWn+LWnWdWd2222( S + LWn) + ( Wd ) ( S + LWn) + ( Wd ) ⎥ ⎦TablaLWnC(t)= 1−e cosWdt−Wd−LWnt −LWnt[ e senWdt]⎤44

Encuentre C(t) para un sistema de 2do orden con una R(s) =1/S cuya condición es L = 0C(s)=R(s)S22Wn+ 2LWnS+ Wn22Wn=2S + Wn2021 ⎡ WnC(s)=2S⎢⎣S+ Wn2⎤⎥⎦=SWn22 2[ S + Wn ]−1LC(s)=SWn22 2[ S + Wn ]TablaC( t)= 1−cosWntEncuentre C(t) para un sistema de 2do orden con una R(s) =1/S cuya condición es L = 1C(s)=R(s)S22Wn+ 2LWnS+ Wn2=Wn22( S + LWn + Wn L −1)( S + LWn −WnL −1)2C(s)=R(s)Wn22WnS + Wn( S + Wn)( S + Wn) ( ) 2=1 0 1 1 1C ( s)−11 ⎡⎢S ⎣Wn=2LC(s)=S2⎤( S + Wn) ⎥ ⎦Wn22 2S + 2SLWn+ L Wn= +[( S + LWn) − ( Wd ) ] 2( S + LWn) 2+ ( Wd ) 222ASBS + C=A222 2[( S + Wn)] + B[ S( S + Wn)] + CS AS + 2ASWn+ AWn + BS=2S( S + Wn) S( S + Wn) 2+ BSWn + CSS=22[ A + B] + S[ 2AWn+ BWn + C]+ AWnS( S + Wn) 2Comparación45

A + B = 02AWn + BWn + C = 0AWn 2 = Wn 2Valor de “A”2WnA = = 1 Wn2Valor de “B”A + B = 01 + B = 0B = -1Valor de “C”2AWn + BWn + C = 02Wn - Wn + C = 0C = - WnSustitución de A, B y C−1 1 11LC(s)= −STablaC(t)=1− e−Wnt−WnS + Wn( S + Wn) ( ) 2−Wn te−Wnt[ ]46

3.4.- SISTEMAS DE ORDEN SUPERIORLa respuesta del orden superior, es la suma de las respuestas de 1er y 2do orden47

UNIDAD IVMODOS DE CONTROL4.1 Acciones básicas de controlDe acuerdo con la acción de control se pueden clasificar los controles automáticosindustriales en:1.- Control de 2 posiciones OFF-ON (si ó no), (todo ó nada)2.- Control proporcional.3.- Control integral.4.- Control proporcional e integral.5.- Control proporcional-derivativo.6.- Control proporcional-integral-derivativoLa mayoría de los controles automáticos industriales usan fuentes de potencia como laelectricidad, el fluido a presión que puede ser aceite o aire. Los controles puedenclasificarse dependiendo del tipo de energía que utilicen, por ejemplo: controlesneumáticos (a base de aire), controles hidráulicos (a base de aceites) y controleselectrónicos.Elemento de control automático industrialUn control automático debe detectar la señal de error actuante, que habitualmente seencuentra a un nivel de potencia muy bajo, hay que amplificarla a un nivelsuficientemente alto. Por lo tanto se requiere de un amplificador, la salida de control vaa actuar sobre un dispositivo de potencia como lo es un motor neumático ó válvula,motor hidráulico, un motor eléctrico.Error actuanteEntradareferenciaAmplificadorAl accionadorelemento final decontrolDetectorde errorElemento demediciónDe la planta48

Control ON-OFFEs un sistema de control de 2 posiciones el elemento accionador tiene solamente 2posiciones fijas; conectado ó desconectado. El control On-Off es simple y económico yes muy utilizado en sistemas de control tanto industriales como domésticos.VálvulasolenoideLNInterruptorhRAcción de control proporcional ( P )Es un modo de control en que el dispositivo corrector final (ó accionador), tienen unrango continuo de posiciones posibles, con la posición exacta tomada siendoproporcional a la señal de error; esto es la salida del controlador es proporcional a suentrada.R (s)SetPointE (s)KpU (s) = C (s)UKp =EKp = K( s)( s)Dominiode lafrecuenciaKp = ganancia proporcionalU (s) = señal de controladorE (s) = señal de errorr (t)e (t)Kpu (t) = C (t)uKp =e( s)( s)Ejemplo: la señal que entra es multiplicada se autoajusta.49

e (t)Kp = 10Valor de la ganancia10V1VEntradaSalidaVentajas del control proporcional:• Es la acción de control más importante.• Aplicación instantánea.• Facilidad de comprobar los resultados.Desventajas:• Falta de inmunidad al ruido.Acción de control integral ( I )Es un controlador cuyo valor de salida varía en razón proporcional a la señal del errore(t) acumulado; lo que implica que es un modo de controlar lento.Control integraldu ( t )= Kie(t)ó bien tu ( t ) = Ki e t dtdt∫ ( )0Ki = ganancia integralEs una constante ajustable, la función de transferencia del control integral es:R (s)Ki/SU (s)UCi =R( s)( s)=KiSSi se duplica el valor de e(t), el valor de U(t) (C(t)) varía al doble de la velocidad. Anteun error igual a cero, el valor de U(t) permanece estacionario. En ocasiones la acción decontrol integral recibe el nombre de control de reposición o restablecimiento.Ejemplo: No va tener valor de control U(t) hasta que exista otro evento (otro valor) ene(t).50

12V10VAcción de control derivativa. ( D )Esta acción de control se adelanta a la señal de control frente a la aparición de unatendencia de error, esto hace que se anticipe al sistema, puesto que los retardos encontrolar lo tienden a inestabilizar.La desventaja del control derivativo es prácticamente inaplicable ante la presencia deruido, este hace que la variable de control tome valores contrapuestos y máximos.Cuando la pendiente de ruido entra como señal de error.Efectivamente el control derivativo puede efectuar correcciones antes de la magnituddel error e(t) que este sea significativa, ya que actúa en forma proporcional a lavelocidad de variación de e(t) “velocidad de variación”. Si la derivada de e(t) es nula nohay acción, por parte del controlador, lo que implica que no tendrá ningún efecto con elerror estacionario. También aumenta la amortiguación sobre las oscilaciones del sistema(tiende a estabilizar) permitiendo usar ganancias Kp mas elevadas:Control derivativo:de(t)u( t)= KD⋅dtKd ó KD = ganancia derivativaFunción de transferencia:U ( s)= KD ⋅ S ⋅ E(s)El control derivativo tiene la ventaja de ser previsorio, pero también amplifica el ruido yprovoca un efecto de saturación en el actuador.El control derivativo, nunca se usa solo, es eficaz en el periodo transitorio.Acción de control proporcional integral. ( P-I )Control proporcional-integralUn control P-I se defineKp Tu( t)= Kpe(t)+ e dtTi∫ ( τ )0Donde:Ti = tiempo integral y es quien ajusta la acción integral.Ti = Ki51

La F.T del control P-IU ( s)⎛ 1 ⎞⎛ 1= Kp⎜1+ ⎟ = CP.I.(s)= Kp⎜1+E(s)⎝ TiS ⎠⎝ TiS⎞⎟⎠R (s)⎛ 1Kp⎜1+⎝ TiS⎞⎟⎠U (s)Nota: Kp y Ti son ajustables.Acción de control proporcional derivativo. ( PD )Control proporcional derivativoUn control P-D se define mediante:Donde:Td = tiempo derivativoTd = Kdu( t)= Kpe(t)+ KpTdde(t)dtFunción de transferenciaU ( s)= Kp 1+E(s)( TdS )R (s)Kp ( 1 +TdS )U (s)Nota: Kp y Td son ajustables.Acción de control proporcional-integral-derivativa. ( PID)Control proporcional-integral-derivativaEste sistema reúne los 3 tipos de control, suma las ventajas de cada una de la accionesKp Nos da una salida proporcional al error (amplifica la señal).Ki Da una salida proporcional al error acumulativo, nos da una respuestalenta.K D Se comporta de una manera previsoria.52

Kpe (t)Ki+C (t)K DLa ecuación del P.I.D es:Su función de transferencia:Kpde(tU ( t)= Kpe(t)+ e() dt + KpTdTi∫ τ0dtt )⎛ 1 ⎞C PID= Kp⎜1+ + TdS ⎟⎝ TiS ⎠En sistemas de control de procesos se tienen controladores de diferentes tipos como loson los neumáticos, pero en la actualidad todos estos sistemas de control mecánico estánsiendo reemplazados por controles ó controladores electrónicos.Las aplicaciones más comunes en industria son:Control de presión de líquidos, control de presión de gases, control de caudal, control denivel de líquidos, control de temperatura, controles de motores eléctricos (velocidadangular y posición angular).Sistema de control de posición.θ i(t)+VEntradadeseadade anguloV i(t) +V o(t) -KV p(t)Preampl.diferencialK1S + ae n(t)R a+VJLKg-m 253

Servomecanismo: el objetivo de este sistema es controlar la posición de la cargamecánica de acuerdo con la posición de referencia.+12VAmpl..R aL aθN 1N 1 , N 2 = r 1 , r 2+12Vi aN 2cargaJLC 1N 34.2.- SINTONIZACIÓN Y OPTIMIZACIÓN.54

UNIDAD VESTABILIDAD5.1.- CRITERIO DE ESTABILIDAD DE ROUTH-HURWITZCriterios de estabilidad de Routh.El problema importante del control lineal tiene que ver con la estabilidad, es decir enque condiciones se vuelve inestable el sistema, si es inestable ¿cómo se estabiliza?La mayoría de los sistemas lineales en lazo cerrado tienen funciones de transferencia:C(s)b0S=R(s)a S0mn+ b1S+ a S1m−1n−1A y B son constantes y los exponentes m ≥ n+ ..... + b+ ..... + am−1n−1S + bS + amn=B(s)A(s)Un criterio simple como el criterio de Routh permite determinar la cantidad de polos delazo cerrado que s e encuentran en el semiplano derecho del plano “S” sin tener quefactorizar el polinomio.X X X XX X X XX X X X Sist. InestableSist. EstableProcedimientos para encontrar la estabilidad de Routh.1.- Escribe el polinomio S de la forma siguiente:n n−1a0S + a1S+ ..... + an−1S+ aDonde los coeficientes son cantidades reales.2.- Si alguno de los coeficientes es “cero” o “negativo”, ante la presencia de al menosun coeficiente “positivo” es sistema no es estable (inestable). La condición necesariapara la estabilidad es que todos los coeficientes tengan un signo positivo.3.- Se ordenan los coeficientes del polinomio en filas y columnas de acuerdo al patrónsiguiente:S n a 0 a 2 a 4 a 6 ….S n-1 a 1 a 3 a 5 a 7 ….S n-2 b 1 b 2 b 3 b 4 ….S n-3 c 1 c 2 c 3 c 4 ….n57

S n-4 d 1 d 2 d 3 d 4 ….............S 2 e 1 e 2S 1 f 1S 0 g 1El proceso de formar filas, continua hasta que nos quedan más elementos (el numerototal de filas es n +1). Los coeficientes b 1 , b 2 , b 3 , etc. se evalúan del modo que sigue:a1a2− a0a3b1=a1a1a4− a0a3b2=a1a1a6− a0a7b3=a1Las evaluaciones de las “b” continúan hasta que todas las restantes son “ceros”. Sesigue el mismo patrón de multiplicación cruzada de los coeficientes de las 2 filasanteriores al evaluar las “c”, las “d”, las “e”, etc., es decir:b1a3− a1b2c1=b1b1a5− a1b3c2=b1b1a7− a1b4c3=a....dd121c1b2− b1c=c1c1b3− b1c=c123Determine la estabilidad del siguiente sistema:R (s)4S 2 + 4Y (s)Modelo básico.3S + 3GF.T =1+G( s)( s)H( s)58

1.- Sacar F.T.4Y ( s)2= S + 4 =R(s)4 ⎛ 3 ⎞1+1+2 ⎜ ⎟S + 4 ⎝ S + 3 ⎠Y ( s)=R(s)42[( S + 4)( S + 3)]2 2( S + 4)( [ S + 4)( S + 3)+ 12]( S + 3)Y ( s)4== F(s)3 2R(s)S + 3S+ 4S+ 2442S + 4122( S + 4)( S + 3)==4( S + 3)2( S + 4)( S + 3)2.- Obtener la ecuación característica.S3 + 3S2 + 4S+ 24a 0 a 1 a 2 a 33.- Colocar filas y columnas.42S + 43 122( S + 4)( S + )2( S + 4)( S + 3)=+ 12 S3( S + 3)42+ 3S+ 4S+ 12 + 12S 3 a 0 a 21 4ba a− a a( 3)( 4) − ( 1)( 24)−12= =31 2 0 31= =−a134S 3-1 a 1 a 33 24S 3-2 b 1 b 2-44.- El sistema es “Inestable”.b2a1a4− a0a3=a1Ejercicio:10( S + 1)1.- F ( s)=4 3 2S + 10S+ 29S+ 52S+ 122.- a 0 a 1 a 2 a 3 a 43.- Colocar filas y columnas.S 4 a 0 a 2 a 41 29 12S 4-1 a 1 a 310 52S 4-2 b 1 b 223.8 6.8S 4-3 c 149.14a a− a a( 10)( 29) − ( 1)( 52)1 2 0 31= ==a110bbca a− a a( 10)( 12) − ( 1)( 52)1 4 0 32= ==a110b a − a b( 23.8)( 52) − ( 10)( 6.8)23.86.81 3 1 21= ==b123.849.144.- El sistema es “Estable”.59

5.2.- LUGAR DE LAS RAICES.Análisis del lugar de las raíces.La característica básica de la respuesta transitoria de un sistema de lazo cerrado serelaciona estrechamente con la localización de los polos. Los polos en lazo cerrado sonlas raíces de la ecuación característica, si esta tiene un grado superior a 3 es muylaborioso encontrar sus raíces y se requiera una solución por computadora, si el sistematiene una ganancia de lazo variable la localización de los polo en lazo cerrado dependedel valor de la ganancia elegida.Para K = 0, ¼, 1R (s)KS(S+1)C (s)Modelo básico.G( s)1+G(s)S1,2− b ±=2b − 4ac2aObtener la F.TC(s)R(s)KKS( S + 1)K= ===2K S K1+SSS 2 + S + K = 0a b ca = 1b = 1c = KSSS1,21,21,2− b ±=−=−1±=Para K = 0( S + 1)2b − 4ac2a2() 1 ± () 1 − 4()( 1 K )2()11−4K2S( S + 1)( S + 1)+S( S + 1)K( S + 1) + K S + S + K60

SSS−1±1−4=21 1= − + 02 21 1= − − = 12 2( 0)−1±=21 −1=21 ,2±1=2−Para K = ¼S1,2−=S1= −S2= −1212±Para K = 11−42(1)1 4()−1±0=2−1±1−4 1 −1− 3S1,2== ±− 1 3 ó J&32 2 21 J&3 1S1 ,2= − ± = − ± J&3/ 42 2 2Se eleva al cuadrado12S1+ &21= − J34S1 &22= − − J34JWPara K = 0S 1 = 0S 2 = -1Para K = ¼S 1 = -½S 2 = -½Para K = 11S1= − + J&234Real-1-½3434RealS1 &22= − − J34-JWEl sistema es Estable61

UNIDAD VIANÁLISIS DE ERROR.6.1.- ERRORES ESTATICOS Y DINAMICOS.62

6.2.- SENSIBILIDAD.La sensibilidad de un sistema, es la relación del cambio en la función de transferenciadel sistema respecto al cambio en la función de transferencia del proceso o parámetropara un cambio incremental pequeño.63