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EL MODELO DE FRICCION DE 3 ZONASEl análisis de confiabilidad se fundamenta en la construcción de funcionesde falla, a partir de las cuales se determina el punto de diseño que maximizael índice de confiabilidad de Hasofer – Lind (1974) para funciones de fallano-normales y no-lineales (Haldar and Mahadevan, 2000). Un aspectoesencial del método es el modelo conceptual bajo el cual se formulan lasfunciones de falla, denominado modelo de fricción de 3 zonas para curvashorizontales.Este modelo explica bajo un concepto unificado de relaciones fricción –velocidad – radio en el cual se superponen funciones de demanda agregadade fricción, de fricción de diseño, umbrales de fricción y oferta de fricción.Este concepto se muestra en Figura 1. Dicha Figura muestra en un sólográfico el comportamiento de diversos tipos de fricción respecto de lavelocidad.La demanda agregada de fricción corresponde a la demanda de fricción detodos los conductores. Refleja la relación de compensación de velocidadque aplican los conductores antes diferentes radios, peraltes y valores defricción en un sentido espacial en la red vial.La fricción de diseño corresponde a valores de fricción lateral obtenidosmediante mediciones de terreno basadas en el equipo Ball Bank (AASHTO,2001). Refleja el valor límite sobre el cual el conductor y los ocupantes delos vehículos sienten incomodidad producto de la aceleración lateral.MODELACION DE FUNCION DE ESTADO LÍMITEMétodo de Cálculo de ConfiabilidadLewis (1987) define la confiabilidad como la probabilidad de que uncomponente, mecanismo equipo o sistema opere bajo ciertas condicionespor un período de tiempo determinado. En términos matemáticos,corresponde a la función inversa de la probabilidad de falla. En el diseñogeométrico, los elementos que intervienen para estimar esta probabilidadson las relaciones entre las velocidades límites las cuales están en funcióndel radio de curvatura.Sean las funciones de falla G 1y G 2no lineales y aleatorias tales que: G 1=f 1(X) y G 2= f 2(X), siendo X el vector de variables aleatorias que describenlas características geométricas. Sea la función de estado límite la funcióng(X) = G 1- G 2= f 1(X) - f 2(X). La probabilidad de falla (Pf) se define con laprobabilidad que g(X) sea menor o igual a 0: P(g(X) ≤ 0). En este caso, ellugar geométrico de todos los puntos X que cumplen la condición límiteg(X)=0 representa el estado límite que separa las zonas de falla y de nofalla.Si g(x) es una función lineal y las variables aleatorias siguen unadistribución de probabilidades normal y no están correlacionadas, entoncesla probabilidad de falla puede describirse según la expresión 1.Donde β es el índice de confiabilidad, μ y σ son la media y desviaciónestándar de la función g(X) a ison constantes determinísticas, μ Xiy σ Xisonla media y la desviación estándar de X. Si a 0= 0; i = 2; a i= 1, se llega a laexpresión de margen de seguridad asociado a resistencias y solicitacionesque se usa habitualmente ingeniería.Figura 1. Modelo de 3 zonas en curvas horizontales (De Solminihac et al,2007).El umbral de fricción por su parte, corresponde a valores objetivo de fricciónque dependen de la maniobra y del elemento geométrico. De modo talque para diversos rangos de radio de curvatura, los valores reflejan unacondición última dentro del rango de incomodidad del conductor, pero quees inferior a la máxima fricción que proporciona el pavimento. Esta máximafricción corresponde a la oferta de fricción.Finalmente, la demanda puntual de fricción responde a la condición deestabilidad dinámica de un vehículo que se desplaza por una curva de radioy peralte determinado, a una velocidad determinada.A partir de este modelo unificado, se definieron 3 zonas de diseño: unazona de consistencia operacional (Zona 1), una de consistencia constructiva(Zona 2) y otra de consistencia de umbrales de fricción (Zona 3). La primerapermite construir funciones de falla relacionando velocidad específicacon velocidad de operación (Puntos A y B), la segunda velocidad límitede construcción con velocidad de operación (Puntos B y C), y la terceravelocidad limite de construcción con velocidad máxima asociada a larelación entre umbrales de fricción y oferta de fricción (Puntos C y D).En el caso en estudio la función g(X) es no lineal, y las distribuciones deprobabilidad de las componentes de X son no normales. Por tal motivo, sedebe utilizar un método alternativo al descrito por la ecuación 1. En estecaso se seleccionó el método de Hasofer-Lind, el cual linealiza la funciónde estado límite en el punto de diseño, definiendo β como la mínimadistancia entre el origen del sistema de coordenadas y el punto de diseñolocalizado sobre la función de estado límite g(X)=0. De este modo el índicede confiabilidad se estima en base a la ecuación 2 (Hasofer and Lind, 1974).En donde u ies la variable x inormalizada, α es el vector normalizado quedescribe la función g(u) = 0 en el punto de diseño u*. La Figura 2 ilustragráficamente el punto de diseño. La ecuación 2 se resuelve numéricamenteo mediante software de análisis de confiabilidad.. 70Carreteras - Marzo 2011
Funciones de Velocidad LímiteLas funciones de velocidad límite corresponden a la velocidad que resultade intersecar la curva de demanda puntual de fricción con las curvasde fricción descritas en sección 2 (puntos A, B y C). La Ec. 6 muestra lavelocidad límite en el punto B de la Figura 1.En donde R es el radio de curvatura, en m, a y b son coeficientes decalibración y p es el peralte como función del radio de curvatura de acuerdoa la ecuación 7 (Ministerio, 2008).Figura 2. Esquema del punto de diseño (Haldar and Mahedavan, 2000).Modelos de FricciónLos modelos de fricción describen el comportamiento de la fricción respectode la velocidad. Está compuesto por 3 sub-modelos: umbrales de fricción,demanda de fricción agregada y fricción de diseño.Los umbrales de fricción corresponden a valores fijos asociados a rangosde radios de curvatura, provenientes de las normativas chilena e inglesa.Para transformarlo a una función continua en todo el dominio se utilizóel modelo de Echaveguren et al (2005) y Vargas-Tejeda et al (2009). Laexpresión resultante es:La velocidad específica (S e) (punto A de Figura 1), se obtiene de equilibrarla demanda de fricción puntual con la fricción de diseño. El resultado es laecuación 8.En dicha ecuación, θ = 0.265 y δ = 602.4. Ambos valores son válidos paravelocidades inferiores a 80 Km./h.En donde S es la velocidad (km/h); f 3es el umbral de fricción definido enHighways (2004) y Ministerio (2008) para curvas horizontales y f ues lafunción continua de variación media de umbrales de fricción respecto dela velocidad.La demanda agregada de fricción (f A) corresponde a la expresión deBonneson (2000), calibrada para Chile con los datos de Echaveguren yBasualto (2003). La expresión es:En donde S a,85es la velocidad de percentil 85 en km/h en la aproximación ala curva horizontal, calculada por Echaveguren y Sáez (2001).La fricción de diseño por su parte corresponde a aquella definida enMinisterio (2008) para velocidades menores a 80 Km/h. Está representadapor la Ec 5.La velocidad límite de construcción (S c) corresponde al punto de equilibrio Cde la Figura 1. La ecuación 9 muestra la expresión analítica.Funciones de Falla y de Estado LímiteLa función de falla expresa la falla de un sistema de acuerdo alcomportamiento de las variables explicativas, que son aleatorias. Enparticular, la función de estado límite corresponde a la frontera que delimitalas zonas de falla de la de no-falla, por lo cual corresponde a una funciónimplícita del tipo G(X) = 0, siendo X un vector de variables aleatorias.En el caso de análisis, la función de estado límite corresponde a la superficielímite en la cual las diferencias de pares de velocidades límite se anulan. Paraefectos de diseño, se definen 2 funciones de estado límite G 1y G 2según:Carreteras - Marzo 2011. 71
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