Ãquations aux dÃ©rivÃ©es partielles, solutions classiques. DiffÃ©rences ...

ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES, 

SOLUTIONS CLASSIQUES. 

DIFFÉRENCES FINIES. 

Alexandre Popier 

Université du Maine, Le Mans 

A. Popier (Le Mans) EDP, solutions classiques. 1 / 52

PLAN DU COURS 

1 FORMULES DE GREEN 

2 ÉQUATION DE LAPLACE 

Domaine R d tout entier 

Domaine borné 

3 ÉQUATION DE LA CHALEUR 



4 MÉTHODE DES DIFFÉRENCES FINIES 

Étude d’un exemple en dimension 1 

Remarques en dimension supérieure à 2 

Équation de la chaleur 


PETIT LEXIQUE. 

DÉFINITION 

Une équation aux dérivées partielles (EDP en abrégé) est une 

équation faisant intervenir une fonction inconnue de plusieurs 

variables ainsi que certaines de ses dérivées partielles. 

On appelle ordre d’une EDP l’ordre de la plus grande dérivée présente 

dans l’équation. 

Une EDP est linéaire si l’équation est linéaire par rapport aux dérivées 

partielles de la fonction inconnue. 

EXEMPLE 

L’équation de Black-Scholes 

∂v(t, x) 

∂t 

est une EDP linéaire d’ordre 2. 

+ 1 2 σ2 x 2 ∂2 v(t, x) ∂v(t, x) 

∂x 2 + rx − rv(t, x) = 0, 

∂x 


CLASSIFICATION SOMMAIRE. 

EDP d’ordre 2, linéaire, à deux variables : 

DÉFINITION 

a ∂2 u 

∂x 2 + b ∂2 u 

∂x∂y + c ∂2 u 

∂y 2 + d ∂u 

∂x + e ∂u + fu = g. 

∂y 

L’équation est elliptique si b 2 − 4ac < 0, parabolique si b 2 − 4ac = 0 et 

hyperbolique si b 2 − 4ac > 0. 

EXEMPLE 

L’EDP de Black-Scholes ou l’équation de la chaleur sont paraboliques. 

L’équation de Laplace 

∆u = 

d∑ 

i=1 

∂ 2 u 

∂x 2 

i 

= 0 

sur un ouvert Ω ∈ R d , est elliptique. 


CONDITIONS AUX LIMITES. 

DÉFINITION 

On appelle problème aux limites une équation aux dérivées partielles 

munie de conditions aux limites sur la totalité de la frontière du 

domaine sur lequel elle est posée. 

DÉFINITION 

Le problème est bien posé si pour toute donnée (second membre, 

domaine, données au bord, etc .), il admet une solution unique et si 

cette solution dépend continuement de la donnée. 


PLAN 













NORMALE À UN OUVERT. 

Soit Ω ouvert de R n de classe C k , avec 

ρ ∈ C k (R d ), 

Ω = {x ∈ R n , ρ(x) < 0}, 

∂Ω = {x ∈ R n , ρ(x) = 0}, 

grad ρ(x) = ∇ρ(x) ≠ 0 pour x ∈ ∂Ω. 

DÉFINITION 

1 

La fonction ν : x ∈ ∂Ω ↦→ 

grad ρ(x) est appelée normale 

‖grad ρ(x)‖ 

unitaire orientée vers l’extérieur de Ω. 

DÉFINITION 

Si u ∈ C 1 (¯Ω), on note ∂u 

∂ν 

de ∂Ω. 

= ν.grad u la dérivée normale de u le long 


THÉORÈME DE GAUSS-GREEN. 

DONNÉES : 

Ω ouvert de R d de classe (au moins) C 1 ; 

ν = (ν 1 , . . . , ν d ) : normale extérieure à ∂Ω ; 

dσ : mesure superficielle du bord ∂Ω. 

THÉORÈME DE GAUSS-GREEN 

Si f ∈ C 1 (Ω), alors 

FORMULE DE STOKES 

∫ 

∫ d∑ 

divU(x)dx = 

Ω 

Ω 

i=1 

∫ 

Ω 

∫ 

∂f 

(x)dx = (f ν i )(σ)dσ. 

∂x i ∂Ω 

∫ 

∂U i 

(x)dx = (U.ν)(σ)dσ. 

∂x i ∂Ω 


FORMULES DE GREEN. 

INTÉGRATION PAR PARTIES 

Si f et g sont dans C 1 (Ω), pour tout i ∈ {1, . . . , d} : 

∫ 

∫ 

∂f 

(x)g(x)dx = − f (x) ∂g ∫ 

(x)dx + f (σ)g(σ)ν i (σ)dσ. 

∂x i ∂x i 

Ω 

Ω 

∂Ω 


FORMULES DE GREEN. 

FORMULES DE GREEN 

1 Si f ∈ C 2 (Ω) et g ∈ C 1 (Ω), on a : 

∫ 

∫ 

∫ 

∂f 

∆f (x)g(x)dx = − ∇f (x).∇g(x)dx + 

Ω 

Ω 

∂Ω ∂ν (σ)g(σ)dσ. 

2 Si f et g sont dans C 2 (Ω), alors : 

∫ 

∫ 

∆f (x)g(x)dx = f (x)∆g(x)dx 

Ω 

Ω 

∫ [ ] 

∂f 

∂g 

+ (σ)g(σ) − 

∂ν ∂ν (σ)f (σ) dσ. 

∂Ω 


PLAN 













DÉFINITIONS. 

◮ ÉQUATION DE LAPLACE : ∆u(x) = 0 pour tout x ∈ Ω ⊂ R d . 

◮ ÉQUATION DE POISSON : −∆u(x) = f (x) pour tout x ∈ Ω. 

DÉFINITION 

Une fonction u de classe C 2 sur Ω satisfaisant l’équation de Laplace 

est dite harmonique. 


PLAN 













SOLUTION INVARIANTE PAR ROTATION. 

DOMAINE : Ω = R d ⇒ invariance par rotation, d’où u(x) = v(r) avec 

r = ‖x‖. 

LEMME 

∂u 

∂x i 

= v ′ (r) x i 

r , 

∂ 2 u 

∂x 2 

i 

( ) 

= v ′′ (r) x i 

2 

r 2 + v ′ 1 

(r) 

r − x i 

2 

r 3 

∆u = 0 ⇔ v ′′ + d − 1 v ′ = 0. 

r 

{ 

α ln(r) + β, d = 2; 

v(r) = α 

r d−2 + β, d ≥ 3; (α, β) ∈ R 2 . 

. 


SOLUTION FONDAMENTALE. 

DÉFINITION 

La fonction 

⎧ 

⎪⎨ 

Φ(x) = 

⎪⎩ 

− 1 ln(‖x‖), d = 2; 

2π 

pour x ∈ R d , x ≠ 0, 

1 1 

d(d − 2)κ(d) ‖x‖ d−2 , d ≥ 3; 

est la solution fondamentale de l’équation de Laplace. 

NOTATION 

κ(d) = 

πd/2 

Γ( d 2 + 1) est le volume de la boule unité de Rd . 


ÉQUATION DE POISSON SUR R d . 

THÉORÈME 

Soit f ∈ Cc 2 (R d ). Alors u = Φ ∗ f : 

⎧ 

− 1 ∫ 

ln(‖x − y‖)f (y)dy, d = 2; 

⎪⎨ 2π R 2 

u(x) = 

∫ 

1 

f (y) 

⎪⎩ 

dy, d ≥ 3; 

d(d − 2)κ(d) ‖x − y‖ d−2 

est correctement définie et vérifie : 

1 u ∈ C 2 (R d ), 

2 −∆u = f sur R d . 

R 3 


PLAN 













PRINCIPE DU MAXIMUM, UNICITÉ. 

THÉORÈME 

Soit u ∈ C 2 (Ω) ∩ C(Ω) harmonique sur Ω ouvert borné. 

1 Alors max u = max u. 

Ω ∂Ω 

2 De plus si Ω est connexe et s’il existe x 0 ∈ Ω t.q. u(x 0 ) = max u, 

alors u est constante sur Ω. 

REMARQUE 

Avec −u à la place de u, on a les mêmes assertions pour le min. 

Ω 

COROLLAIRE 

Si u ∈ C 2 (Ω) ∩ C(Ω) est harmonique sur Ω et vérifie u = g sur ∂Ω 

avec g ≥ 0, u est strictement positive partout sur Ω pourvu que g soit 

strictement positive en au moins un point du bord. 



THÉORÈME (UNICITÉ) 

Soit g ∈ C(∂Ω), f ∈ C(Ω). Alors il existe au plus une solution 

u ∈ C 2 (Ω) ∩ C(Ω) au problème suivant : 

⎧ 

⎨ −∆u = f sur Ω, 

⎩ 

u = g 

sur ∂Ω. 


RÉGULARISATION ET REPRÉSENTATION. 

THÉORÈME 

Si u ∈ C(Ω) est harmonique, alors u ∈ C ∞ (Ω). 

REMARQUE 

Attention : u n’est pas nécessairement régulière, ni même continue sur 

le bord ∂Ω. 

THÉORÈME 

Soit f ∈ Cc 2 (R d ) avec d ≥ 3. Toute solution bornée de −∆u = f sur R d 

est de la forme 

∫ 

u(x) = Φ(x − y)f (y)dy + C, avec C constante. 

R d 


FONCTION DE GREEN. 

HYPOTHÈSE : Ω est un ouvert borné de classe C 1 . 

DÉFINITION 

Pour tout x ∈ Ω, 

Fonction correctrice : φ x solution de 

⎧ 

⎨ ∆Φ x = 0 sur Ω, 

⎩ 

Fonction de Green de Ω : 

φ x = Φ(y − x) 

sur ∂Ω. 

G(x, y) = Φ(y − x) − φ x (y), (x, y) ∈ Ω 2 , x ≠ y. 

PROPOSITION 

Pour tout (x, y) ∈ Ω 2 , x ≠ y, G(x, y) = G(y, x). 


FONCTION DE GREEN. 

HYPOTHÈSE : Ω est un ouvert borné de classe C 1 . 

THÉORÈME 

Si u ∈ C 2 (Ω) est solution de 

⎧ 

⎨ −∆u = f sur Ω, 

alors pour tout x ∈ Ω : 

∫ 

u(x) = − 

∂Ω 

⎩ 

u = g 

sur ∂Ω, 

g(σ) ∂G 

∂ν 

∫Ω 

(x, σ)dσ + f (y)G(x, y)dy. 


FONCTION DE GREEN POUR LE DEMI-ESPACE. 

DOMAINE : Ω = R d + = {x = (x 1 , . . . , x d ) ∈ R d |x d > 0}. 

NOYAU DE POISSON POUR R d + : 

K (x, y) = 

2x d 1 

dκ(d) ‖x − y‖ d , x ∈ Rd +, y ∈ ∂R d +. 

THÉORÈME 

Soit g ∈ C(R d−1 ) ∩ L ∞ (R d−1 ) et u définie par 

∫ 

∀x ∈ R d +, u(x) = g(y)K (x, y)dy. 

Alors u ∈ C ∞ (R d +) ∩ L ∞ (R d +) et 

1 ∆u = 0 sur R d +, 

∂R d + 

2 lim u(x) = g(x 0 ) pour tout x 0 ∈ ∂R d +. 

x→x 0 ,x∈R d + 


FONCTION DE GREEN POUR UNE BOULE. 

DOMAINE : Ω = B(0, r) avec r > 0. 

NOYAU DE POISSON POUR B(0, r) : 

K (x, y) = r 2 − ‖x‖ 2 

dκ(d)r 

1 

‖x − y‖ d , 

x ∈ B(0, r), y ∈ ∂B(0, r). 

THÉORÈME 

Soit g ∈ C(∂B(0, r)) et u définie par 

∫ 

∀x ∈ B(0, r), u(x) = 

Alors u ∈ C ∞ (B(0, r)) et 

1 ∆u = 0 sur B(0, r), 

∂B(0,r) 

g(y)K (x, y)dy. 

2 lim 

x→x 0 ,x∈B(0,r) u(x) = g(x 0) pour tout x 0 ∈ ∂B(0, r). 


PLAN 













DÉFINITION. 

ÉQUATION HOMOGÈNE : ∂u 

∂t 

− ∆u = 0. 

ÉQUATION INHOMOGÈNE : ∂u 

∂t − ∆u = f . 

DONNÉES 

initiales et de bord à préciser ! 

f : R ∗ + × Ω → R, Ω ⊂ R d ouvert. 

INCONNUE : u : R ∗ + × Ω → R. 


PLAN 













SOLUTION FONDAMENTALE. 

DÉFINITION 

La fonction 

⎧ 

⎪⎨ 

Φ(t, x) = 

⎪⎩ 

( ) 

1 

(4πt) d/2 exp − ‖x‖2 

4t 

t > 0, x ∈ R d , 

0 t < 0, x ∈ R d 

est appelée solution fondamentale de l’équation de la chaleur 

(homogène). 

LEMME 

∫ 

Pour tout t > 0, Φ(t, x)dx = 1. 

R d 


PROBLÈME DE CAUCHY. 

À RÉSOUDRE : 

∂u 

∂t − ∆u = 0, t > 0, x ∈ Rd , et u(0, .) = g. 

THÉORÈME 

Soit g ∈ C(R d ) ∩ L ∞ (R d ). Soit 

∫ 

u(t, x) = Φ(t, .) ∗ g = Φ(t, x − y)g(y)dy, t > 0, x ∈ R d . 

R d 

Alors u ∈ C ∞ (R ∗ + × R d ) et 

1 u t (t, x) − ∆u(t, x) = 0 pour (t, x) ∈]0, +∞[×R d , 

2 lim 

(t,x)→(0,x 0 ),t>0 u(t, x) = g(x 0) pour x 0 ∈ R d . 

3 Si g ≥ 0, avec g ≠ 0, alors pour tout t > 0 et tout x ∈ R d , 

u(t, x) > 0. 


PROBLÈME NON HOMOGÈNE. 

À RÉSOUDRE : 

⎧ 

⎪⎨ 

⎪⎩ 

∂u 

∂t − ∆u = f , t > 0, x ∈ Rd , 

u = 0 t = 0, x ∈ R d . 

THÉORÈME 

Soit f ∈ C 1,2 

0 (R + × R d ). Soit 

u(t, x) = 

∫ t 

Alors u ∈ C 1,2 (R ∗ + × R d ) et 

0 

∫ 

R d Φ(t − s, x − y)f (s, y)dsdy, t > 0, x ∈ R d . 

1 u t (t, x) − ∆u(t, x) = f (t, x) pour (t, x) ∈]0, +∞[×R d , 

2 lim 

(t,x)→(0,x 0 ),t>0 u(t, x) = 0 pour tout x 0 ∈ R d . 


PROBLÈME NON HOMOGÈNE. 

PROPOSITION 

EN COMBINANT LES DEUX THÉORÈMES : 

∫ 

∫ t 

u(t, x) = 

est solution de 

R d Φ(t, x − y)g(y)dy + 

⎧ 

⎪⎨ 

⎪⎩ 

∂u 

∂t − ∆u = f , t > 0, x ∈ Rd , 

u = g t = 0, x ∈ R d . 

0 

∫ 

R d Φ(t − s, x − y)f (s, y)dsdy 


PLAN 














DÉFINITION 

Soit Ω ouvert borné de R d et T > 0. 

Cylindre parabolique : Ω T =]0, T ] × Ω. 

Bord parabolique de Ω T : Γ T = Ω T \ Ω T = {0} × Ω ∪ [0, T ] × ∂Ω. 

THÉORÈME 

Soit u ∈ C 1,2 (Ω T ) × C(Ω T ) solution de l’équation de la chaleur sur Ω T . 

1 Alors max u = max u. 

Ω T 

Γ T 

2 Si Ω est connexe et s’il existe (t 0 , x 0 ) ∈ Ω T t.q. u(t 0 , x 0 ) = max 

Ω T 

u, 

alors u est constante sur Ω t0 . 



DÉFINITION 

Soit Ω ouvert borné de R d et T > 0. 

Cylindre parabolique : Ω T =]0, T ] × Ω. 

Bord parabolique de Ω T : Γ T = Ω T \ Ω T = {0} × Ω ∪ [0, T ] × ∂Ω. 

THÉORÈME 

Soit g ∈ C(Γ T ) et f ∈ C(Ω T ). Il existe au plus une solution 

u ∈ C 1,2 (Ω T ) × C(Ω T ) au problème : 

⎧ 

⎨ u t − ∆u = f dans Ω T , 

⎩ 

u = g sur Γ T . 



THÉORÈME (PRINCIPE DU MAXIMUM) 

Soit u ∈ C 1,2 (]0, T ] × R d ) × C([0, T ] × R d ) solution de 

⎧ 

⎨ u t − ∆u = 0 sur ]0, T [×R d , 

⎩ 

u = g sur {0} × R d , 

et satisfaisant |u(t, x)| ≤ Ae a|x|2 (avec A, a constantes). Alors 

sup u = sup g. 

[0,T ]×R d R d 



THÉORÈME (UNICITÉ) 

Soit g ∈ C(R d ) et f ∈ C([0, T ] × R d ). Il existe au plus une solution 

u ∈ C 1,2 (]0, T ] × R d ) × C([0, T ] × R d ) au problème : 

⎧ 

⎨ u t − ∆u = f sur ]0, T [×R d , 

⎩ 

u = g sur {0} × R d , 

satisfaisant |u(t, x)| ≤ Ae a|x|2 (avec A, a constantes). 


REMARQUES. 

REMARQUE SUR LES BORNES 

Il existe une infinité de solutions pour 

⎧ 

⎨ u t − ∆u = 0 sur ]0, T [×R d , 

⎩ 

u = 0 sur {0} × R d , 

THÉORÈME (RÉGULARITÉ) 

Si u ∈ C 1,2 (Ω T ) satisfait l’équation de la chaleur sur Ω T , alors 

u ∈ C ∞ (Ω T ). 


PLAN 













PRINCIPALES MÉTHODES DE DISCRÉTISATION. 

DIFFÉRENCES FINIES (ou volumes finis) : discrétisation du domaine Ω et 

remplacement de l’opérateur différentiel par un quotient différentiel. 

ÉLÉMENTS FINIS : trés liée à la formulation variationnelle des EDP. 

Principe : remplacer un espace de Hilbert H par un sous-espace de 

dimension finie H N . 

MÉTHODES SPECTRALES : chercher une solution approchée sous forme 

d’un développement sur une certaine famille de fonctions (Fourier, 

polynômes, splines, etc.) : 

u = 

N∑ 

α i (u)p i , 

i=1 

(voir exercices de TD). 

Méthodes souvent coûteuses, mais précises. 


PRINCIPE. 

DÉRIVÉE : 

du u(x + h) − u(x) 

(x) = lim 

≈ 

dx h→0 h 

u(x + h) − u(x) 

, si h est assez petit. 

h 

LEMME (EN EXERCICE) 

Si u est de classe C 2 au voisinage de x, alors 

( 

du u(x + h) − u(x) 

∣ (x) − dx h ∣ ≤ 

sup 

y∈[x,x+h 0 [ 

) 

|u ′′ (y)| 

h. 

2 

DÉFINITION 

Une approximation est consistante d’ordre p s’il existe une constante 

C positive indépendante de h, t.q. cette erreur soit majorée par Ch p . 


PRINCIPE. 

DÉRIVÉE : 

du u(x + h) − u(x − h) 

(x) = lim 

≈ 

dx h→0 2h 

u(x + h) − u(x − h) 

. 

2h 

LEMME (EN EXERCICE) 


( 

du u(x + h) − u(x − h) 

∣ (x) − dx 2h ∣ ≤ 

sup 

y∈]x−h 0 ,x+h 0 [ 

) 

|u (3) (y)| 

h 2 . 

6 


PRINCIPE. 

DÉRIVÉE D’ORDRE 2 : 

PROPOSITION 


d 2 ∣ ( 

u u(x + h) − 2u(x) + u(x − h) ∣∣∣ 

∣ (x) − 

dx 2 h 2 

≤ 

sup 

y∈[x,x+h 0 [ 

) 

|u (4) (y)| 

h 2 . 

2 


PLAN 













PROBLÈME. 

Soit u : [0, 1] → R solution de 

⎧ 

⎪⎨ − d 2 u 

(x) + c(x)u(x) = f (x) pour 0 < x < 1, 

dx 2 

⎪⎩ 

u(0) = g 0 , u(1) = g 1 . 

HYPOTHÈSES : f ∈ C([0, 1]), c ∈ C([0, 1]), c ≥ 0. 

RÉSULTAT : 

il existe une unique solution u ∈ C 2 ([0, 1]). 

Mais pas de forme explicite de la solution si c ≠ 0. 

DISCRÉTISATION DU DOMAINE : pour tout entier N, 

x 0 = 0 < x 1 < . . . < x N < x N+1 = 1. 

DISCRÉTISATION RÉGULIÈRE : x i = ih avec h = 1/(N + 1) et 

i = 0, . . . , N + 1. 


SCHÉMA DE DIFFÉRENCES FINIES. 

BUT : chercher en tout point x i une valeur u i t.q. u i ≈ u(x i ). Donc 

u 0 = g 0 , u N+1 = g 1 , 

U = (u 1 , . . . , u N ) ∈ R N . 

APPROXIMATION : en chacun des sommets internes x i : 

− d 2 u 

dx 2 (x i) + c(x i )u(x i ) = f (x i ); 

− u(x i + h) − 2u(x i ) + u(x i − h) 

h 2 + c(x i )u(x i ) ≈ f (x i ); 

− u i+1 − 2u i + u i−1 

h 2 + c(x i )u i ≈ f (x i ), i ∈ {1, . . . , N}. 


ÉCRITURE MATRICIELLE. 

A h U = b h , avec A h ∈ R N×N et b h ∈ R N : 

⎛ 

⎞ 

2 −1 0 . . . 0 ⎛ 

c(x A h = 1 −1 2 −1 0 . 

1 ) 0 . . . 0 

h 2 . 0 .. . .. . .. 0 

+ 

0 c(x 2 ) 0 . 

⎜ 

⎜ 

⎟ ⎝ 

. 

. .. . .. . .. 

⎝ . 0 −1 2 −1 ⎠ 

0 . . . 0 c(x N ) 

0 . . . 0 −1 2 

⎛ 

b h = 

⎜ 

⎝ 

f (x 1 ) + g 0 

h 2 

f (x 2 ) 

. 

f (x N−1 ) 

f (x N ) + g 1 

h 2 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

ATTENTION AUX BORDS ! 

⎞ 

⎟ 

⎠ 


PROPRIÉTÉS DE A h . 

PROPOSITION 

Si c ≥ 0, A h est symétrique et définie positive. 

CONSÉQUENCE : U existe et est unique. 

INÉGALITÉ DE STABILITÉ 

∥ 

∥ 

Si c ≥ 0, ∥(A h ) −1 ∥∥∞ 

≤ 1 8 . 


ERREUR DE CONSISTANCE. 

DÉFINITION 

On appelle erreur de consistance du schéma la quantité obtenue en 

remplaçant l’inconnue par la solution exacte dans le schéma 

numérique : 

⎛ ⎞ 

ε h (u) = A h π h (u) − b h , π h (u) = 

Le schéma est consistant si lim 

h→0 

‖ε h (u)‖ = 0. 

⎜ 

⎝ 

u(x 1 ) 

. 

u(x N ) 

⎟ 

⎠ . 

Le schéma est consistant d’ordre p s’il existe C > 0 et h 0 > 0 t.q. pour 

tout 0 < h < h 0 , ‖ε h (u)‖ ≤ Ch p . 


ERREUR DE CONSISTANCE. 

PROPOSITION 

Supposons la solution u de classe C 4 sur [0, 1]. Alors le schéma est 

consistant d’ordre 2 pour la norme infinie : 

‖ε h (u)‖ ∞ ≤ h2 

12 sup |u (4) (y)|. 

y∈[0,1] 


CONVERGENCE DU SCHÉMA. 

THÉORÈME 

Soit u : [0, 1] → R solution exacte de 

⎧ 

⎪⎨ − d 2 u 

(x) + c(x)u(x) = f (x) pour 0 < x < 1, 

dx 2 

⎪⎩ 

u(0) = g 0 , u(1) = g 1 . 

On suppose u ∈ C 4 ([0, 1]). Soit U ∈ R N la solution du schéma. Alors 

l’erreur de discrétisation, i.e. la différence π h (u) − U, vérifie : 

‖π h (u) − U‖ ∞ ≤ h2 

96 sup |u (4) (y)|. 

y∈[0,1] 

REPOSE SUR 

π h (u) − U = −(A h ) −1 ε h (u). 


PLAN 













UN PROBLÈME DE GÉOMÉTRIQUE. 

Problème de Laplace inhomogène : 

⎧ 

⎨ −∆u(x) = f (x) pour x ∈ Ω, 

⎩ 

u = 0 

sur ∂Ω. 

DISCRÉTISATION : points alignés dans les directions x et y. 


APPROXIMATION. 

EN UN POINT RÉGULIER : 

∆u(P 1 ) ≈ u(P 2) + u(P 3 ) − 2u(P 1 ) 

h 2 1 

+ u(P 5) + u(P 4 ) − 2u(P 1 ) 

h2 

2 . 

Si u de classe C 4 , approximation d’ordre 2. 

EXEMPLE : si Ω est un rectangle, tous les points sont réguliers. 


APPROXIMATION. 

EN UN POINT SINGULIER : 

CORRECTION : ∂2 u 

∂x 2 (P 1) + O(h) = αu(˜P 2 ) + βu(˜P 1 ) + γu(P 3 ). 

Formule de Taylor : 

α + β + γ = 0, −αh + γh ′ = 0, αh 2 /2 + γh ′2 /2 = 1. 

Erreur de consistance en O(h) et matrice du système linéaire non 

symétrique. 


PLAN 













SCHÉMAS D’EULER POUR EDO. 

À résoudre EDO : u ′ = f (u) sur ]0, 1[ avec u(0) = u 0 . 

SCHÉMAS D’EULER : 

EXPLICITE : u ′ (x) ≈ 

u(x + h) − u(x) 

, d’où 

h 

u(x + h) = u(x) + hf (u(x)). 

IMPLICITE : u ′ (x) ≈ 

u(x) − u(x − h) 

, d’où 

h 

u(x + h) − hf (u(x + h)) = u(x) ⇔ u(x + h) = (Id − hf ) −1 (u(x)). 

θ-SCHÉMA (θ ∈ [0, 1]) : 

u(x + h) − (1 − θ)hf (u(x + h)) = u(x) + θhf (u(x)). 


ÉQUATION DE LA CHALEUR. 

Soit u solution de 

⎧ 

∂u 

⎪⎨ ∂t (t, x) − ∂2 u 

(t, x) = 0 pour x ∈]0, 1[, t ∈]0, T [ 

∂x 2 

⎪⎩ 

u(0, x) = u 0 (x) ∀x ∈]0, 1[, 

u(t, 0) = u(t, 1) = 0 pour t ∈]0, T [. 

THÉORÈME 

Si u 0 ∈ C(]0, 1[), il existe une unique solution 

u ∈ C 2 (]0, T [×]0, 1[) ∩ C([0, T ] × [0, 1]). De plus 

u ∈ C ∞ (]0, T [×]0, 1[). 

Si u 0 ≥ 0, u(t, .) ≥ 0 pour tout t ≥ 0. 

Si u ∈ L ∞ (]0, 1[), alors u ∈ L ∞ (]0, T [×]0, 1[) et ‖u‖ ∞ ≤ ‖u 0 ‖ ∞ . 


DISCRÉTISATION PAR EULER EXPLICITE EN TEMPS. 

DISCRÉTISATION : 

[0, T ] divisé en t n = nk, n = 0, . . . , M, pas k = T /M, 

[0, 1] divisé en x i = ih, i = 0, . . . , N + 1, pas h = 1/(N + 1). 

En chaque point (t n , x i ) : 

∂u 

∂t (t n, x i ) ≈ u(t n+1, x i ) − u(t n , x i ) 

k 

− ∂2 u 

∂x 2 (t n, x i ) ≈ 2u(t n, x i ) − u(t n , x i+1 ) − u(t n , x i−1 ) 

h 2 . 

APPROXIMATION u (n) 

i 

de u(t n , x i ), i = 1, . . . , N et n = 1, . . . , M. 






SCHÉMA : pour tout i = 1, . . . , N et tout n = 1, . . . , M 

⎧ 

u (n+1) 

i 

− u (n) 

i 

+ 2u(n) i 

− u (n) 

i+1 − u(n) i−1 

⎪⎨ k 

h 2 (t, x) = 0, 

⎪⎩ 

u (0) 

i 

= u 0 (x i ), 

u (n) 

0 

= u (n) 

N+1 = 0. 






SCHÉMA EXPLCITE car u (n+1) 

i 

u (n+1) 

i 

= u (n) 

i 

explicite en fonction de (u (n) 

i 

) i=1,...,N : 

− k h 2 (2u(n) i 

− u (n) 

i−1 − u(n) i+1 ). 


PROPRIÉTÉS. 

PROPOSITION 

Le schéma est consistant d’ordre 1 en temps et d’ordre 2 en espace : 

∂u 

∣ ∂t (t n, x i ) − u(t n+1, x i ) − u(t n , x i ) 

k ∣ ≤ Ck, 

u 

∣ −∂2 ∂x 2 (t n, x i ) − 2u(t ∣ 

n, x i ) − u(t n , x i+1 ) − u(t n , x i−1 ) ∣∣∣ 

h 2 ≤ Ch 2 . 

DÉFINITION 

Un schéma est L ∞ -stable si la solution approchée est bornée dans L ∞ 

indépendamment du pas du maillage. 

PROPOSITION 

Si 

k 

h 2 

≤ 1/2, alors le schéma est stable : sup i,n |u (n) 

i 

| ≤ ‖u 0 ‖ ∞ . 


PROPRIÉTÉS. 

THÉORÈME 

Si la condition de stabilité est satisfaite, alors il existe C ≥ 0 t.q. pour 

tout n = 1, . . . , M : 

∣ 

sup ∣u(t n , x i ) − u (n) 

∣ 

∣ ≤ sup ∣u(0, x i ) − u (0) 

∣ + TC(k + h 2 ). 

i=1,...,N 

i 

i=1,...,N 

i 


ÉCRITURE MATRICIELLE. 

NOTATIONS : 

λ = k/h 2 . 

Pour n = 1, . . . , M, U n = (u (n) 

i 

) i=1,...,N . 

U 0 = (u 0 (x i )) i=1,...,N . 

SYSTÈME LINÉAIRE : U n = AU n−1 avec 

⎛ 

⎞ 

1 − 2λ −λ 0 . . . 0 

−λ 1 − 2λ −λ 0 . 

A = 

. 0 .. . .. . .. 0 

⎜ 

⎟ 

⎝ . 0 −λ 2 −λ ⎠ 

0 . . . 0 −λ 1 − 2λ 

REMARQUE : attention aux conditions de bord en x = 0 et x = 1. 


θ-SCHÉMAS. 

Pour θ ∈ [0, 1] 

u (n+1) 

i 

− u (n) 

i 

k 

= 1 − θ ( 

) 

h 2 −2u (n) 

i 

+ u (n) 

i+1 + u(n) i−1 

+ θ ( 

h 2 −2u (n+1) 

i 

+ u (n+1) 

i+1 

+ u (n+1) 

i−1 

) 

. 

PROPRIÉTÉS. 

Euler implicite si θ = 1, Crank-Nicholson si θ = 1/2. 

D’ordre 2 en espace. D’ordre 2 en temps si θ = 1/2, d’ordre 1 

sinon. 

Inconditionnellement stable si θ ≥ 1/2. Sinon stable si 

k 

h 2 ≤ 1 

2(1 − 2θ) .

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