Ãquations aux dérivées partielles, solutions classiques. Différences ...
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PRINCIPE DU MAXIMUM, UNICITÉ.<br />
THÉORÈME<br />
Soit u ∈ C 2 (Ω) ∩ C(Ω) harmonique sur Ω ouvert borné.<br />
1 Alors max u = max u.<br />
Ω ∂Ω<br />
2 De plus si Ω est connexe et s’il existe x 0 ∈ Ω t.q. u(x 0 ) = max u,<br />
alors u est constante sur Ω.<br />
REMARQUE<br />
Avec −u à la place de u, on a les mêmes assertions pour le min.<br />
Ω<br />
COROLLAIRE<br />
Si u ∈ C 2 (Ω) ∩ C(Ω) est harmonique sur Ω et vérifie u = g sur ∂Ω<br />
avec g ≥ 0, u est strictement positive partout sur Ω pourvu que g soit<br />
strictement positive en au moins un point du bord.<br />
A. Popier (Le Mans) EDP, <strong>solutions</strong> <strong>classiques</strong>. 17 / 52
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