Ãquations aux dÃ©rivÃ©es partielles, solutions classiques. DiffÃ©rences ...

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SOLUTION INVARIANTE PAR ROTATION. DOMAINE : Ω = R d ⇒ invariance par rotation, d’où u(x) = v(r) avec r = ‖x‖. LEMME ∂u ∂x i = v ′ (r) x i r , ∂ 2 u ∂x 2 i ( ) = v ′′ (r) x i 2 r 2 + v ′ 1 (r) r − x i 2 r 3 ∆u = 0 ⇔ v ′′ + d − 1 v ′ = 0. r { α ln(r) + β, d = 2; v(r) = α r d−2 + β, d ≥ 3; (α, β) ∈ R 2 . . A. Popier (Le Mans) EDP, solutions classiques. 13 / 52
SOLUTION FONDAMENTALE. DÉFINITION La fonction ⎧ ⎪⎨ Φ(x) = ⎪⎩ − 1 ln(‖x‖), d = 2; 2π pour x ∈ R d , x ≠ 0, 1 1 d(d − 2)κ(d) ‖x‖ d−2 , d ≥ 3; est la solution fondamentale de l’équation de Laplace. NOTATION κ(d) = πd/2 Γ( d 2 + 1) est le volume de la boule unité de Rd . A. Popier (Le Mans) EDP, solutions classiques. 14 / 52
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