Ãquations aux dÃ©rivÃ©es partielles, solutions classiques. DiffÃ©rences ...

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PRINCIPE DU MAXIMUM, UNICITÉ. THÉORÈME Soit u ∈ C 2 (Ω) ∩ C(Ω) harmonique sur Ω ouvert borné. 1 Alors max u = max u. Ω ∂Ω 2 De plus si Ω est connexe et s’il existe x 0 ∈ Ω t.q. u(x 0 ) = max u, alors u est constante sur Ω. REMARQUE Avec −u à la place de u, on a les mêmes assertions pour le min. Ω COROLLAIRE Si u ∈ C 2 (Ω) ∩ C(Ω) est harmonique sur Ω et vérifie u = g sur ∂Ω avec g ≥ 0, u est strictement positive partout sur Ω pourvu que g soit strictement positive en au moins un point du bord. A. Popier (Le Mans) EDP, solutions classiques. 17 / 52
PRINCIPE DU MAXIMUM, UNICITÉ. THÉORÈME (UNICITÉ) Soit g ∈ C(∂Ω), f ∈ C(Ω). Alors il existe au plus une solution u ∈ C 2 (Ω) ∩ C(Ω) au problème suivant : ⎧ ⎨ −∆u = f sur Ω, ⎩ u = g sur ∂Ω. A. Popier (Le Mans) EDP, solutions classiques. 17 / 52
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