Ãquations aux dÃ©rivÃ©es partielles, solutions classiques. DiffÃ©rences ...

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CLASSIFICATION SOMMAIRE. EDP d’ordre 2, linéaire, à deux variables : DÉFINITION a ∂2 u ∂x 2 + b ∂2 u ∂x∂y + c ∂2 u ∂y 2 + d ∂u ∂x + e ∂u + fu = g. ∂y L’équation est elliptique si b 2 − 4ac < 0, parabolique si b 2 − 4ac = 0 et hyperbolique si b 2 − 4ac > 0. EXEMPLE L’EDP de Black-Scholes ou l’équation de la chaleur sont paraboliques. L’équation de Laplace ∆u = d∑ i=1 ∂ 2 u ∂x 2 i = 0 sur un ouvert Ω ∈ R d , est elliptique. A. Popier (Le Mans) EDP, solutions classiques. 4 / 52
CONDITIONS AUX LIMITES. DÉFINITION On appelle problème aux limites une équation aux dérivées partielles munie de conditions aux limites sur la totalité de la frontière du domaine sur lequel elle est posée. DÉFINITION Le problème est bien posé si pour toute donnée (second membre, domaine, données au bord, etc .), il admet une solution unique et si cette solution dépend continuement de la donnée. A. Popier (Le Mans) EDP, solutions classiques. 5 / 52
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PROPRIÉTÉS. PROPOSITION Le schém
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ÉCRITURE MATRICIELLE. NOTATIONS :
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