Ãquations aux dÃ©rivÃ©es partielles, solutions classiques. DiffÃ©rences ...

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PROBLÈME DE CAUCHY. THÉORÈME (UNICITÉ) Soit g ∈ C(R d ) et f ∈ C([0, T ] × R d ). Il existe au plus une solution u ∈ C 1,2 (]0, T ] × R d ) × C([0, T ] × R d ) au problème : ⎧ ⎨ u t − ∆u = f sur ]0, T [×R d , ⎩ u = g sur {0} × R d , satisfaisant |u(t, x)| ≤ Ae a|x|2 (avec A, a constantes). A. Popier (Le Mans) EDP, solutions classiques. 30 / 52
REMARQUES. REMARQUE SUR LES BORNES Il existe une infinité de solutions pour ⎧ ⎨ u t − ∆u = 0 sur ]0, T [×R d , ⎩ u = 0 sur {0} × R d , THÉORÈME (RÉGULARITÉ) Si u ∈ C 1,2 (Ω T ) satisfait l’équation de la chaleur sur Ω T , alors u ∈ C ∞ (Ω T ). A. Popier (Le Mans) EDP, solutions classiques. 31 / 52
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