Y. Chevallard ENSEIGNEMENT DE L'ALGEBRE - Seminario ...

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184 K <strong>Chevallard</strong>Fonctions (linéaires et affines): 3, 14, 17, 23.Ensembles: 7, 10, 16.Applications à la geometrie- Geometrie (sic): 13.- Geometrie cartesienne et vecteurs: 22.- Angles: 22.- Trigonometrie: 22.TABLEAU 21 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11Equations 2 X 1 1 X 1 X 1 X 2 2Cai. alg. 3 3 1 1 2 1 1 1 2 X 1Cai. num. 2 X 4 X 1 X X X X 1 XRés. pb. 1 X 1 X X 1 X X X X XFonct. X X X X X X X 1 X X XEns. X X X X X X 1 X X 1 XAppi. geo. X X X X X X X X X X X12 13 14 16 17 18 19 20 21 22 23Equations 1 1 X 1 4 2 1 5 1 2 2Cai. alg. 1 2 2 1 2 3 X X 3 1 1Cai. num. 3 X X 1 4 X 1 X X 2 1Rés. pb. X X X X X 1 1 X X X XFonct. X X 1 X 1 X X X X X 1Ens. X X X 1 X X X X X X XAppi. gèo. X 1 X X X X X X X 3 X7.10. Viennent ensuite les autres rubriques {Résolution de problèmes, Fonctions, Ensembleset Applications à la geometrie) dont les "scores" sont respectivement (5,5), (4,4), (3,3) et(2,4). Quelques remarques peuvent ètre faites ici pour éclairer le lecteur.1. La mention de la résolution de problèmes semble bien étre un écho du mouvementrécent, et relativement insistant, qui s'est développé en France au sein de la noosphère, aucours des dernières années, autour de la doctrine de la "pédagogie du problème" - bienplus qu'un vestige d'une situation traditionnelle (laminée en son temps par la réforme des
Enseignement de l'algebre 185mathématiques modernes) od l'algebre était déclarée (plus que pratiquée) comme méthodede résolution de problèmes (arithmétiques).2. Le thème des fonctions était anciennement - et notamment dans les programmeset les manuels d'algebre relatifs à l'enseignement du lycée - inclus dans le domaine del'algebre. Sa présence est ici plus probablement l'effet de l'apparentement des fonctionsétudiées au collège - les fonctions linéaires et affines - avec des objets mathématiquesappartenant au noyau de l'algebre enseignée à ce niveau - équations et inéquations dupremier degré.3. Le thème des ensembles est cité, par 2 enseignants sur les 3 qui le mentionnent,comme résiduel (voir dans l'annexe 2 les réponses des enseignants 7 et 10), en conformitéavec ce que l'on peut directement observer. Après avoir en effet tenu une place essentielledans les programmes et dans l'enseignement des années 1970, les notions ensemblistes yoccupent depuis la fin des années soixante-dix une position très marginale. Mais il estintéressant de noter ici ces vestiges, qui soulignent l'extension et le flou de l'acceptionattribuée au mot d'algebre.4. Les applications à la geometrie, enfin, se rattachent à l'algebre pour partie dansle cadre du tryptiqueéquations du premier degré /fonctions affines / droitesEn revanche, la mention de la trigonometrie (qui, il est vrai, n'apparait ici quedans une réponse) pourrait étre mise en relation avec la presentation actuelle des notiònstrigonométriques, qui fut introduite dans la noosphère dès le milieu des années soixante-dixpar le livre de Gustave Choquet, L'enseignement de la geometrie (Hermann, Paris, 1964).8. Qu'est que l'algebre? 2. Le savoir savant8.1. L'examen du savoir savant met en relief un point essentiel: le "noyau primaire" del'algebre, c'est la fhéorie des équations, telle que la crée, dans la première partie du IXesiècle, al-Khwarizmi. Il faut souligner tout de suite, sur l'exemple des problèmes (que nousdisons) du premier degré, en quoi l'algebre - en ce sens - se différencie de Tarithmétique.8.2. Considérons le problème suivant, emprunté à un manuel d'arithmétique publié en 1925(voir l'annexe 3):"Un négociant achète une pièce de drap à raison de 40 francs le mètre. Il en revendle quart à 54, 40 francs le mètre, 1/5 à 56 francs le mètre, et le reste à 50 francsle mètre. Il retire de cette vente un bénéfice de 1476 francs. Combien y avait-il demètres dans la pièce de drap?"La résolution de ce problème par l'algebre suppose d'abord le choix de l'inconnue- on prendra ici le nombre cherché, soit la longueur de la pièce de drap achetée -, puis la
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