Y. Chevallard ENSEIGNEMENT DE L'ALGEBRE - Seminario ...

202 Y. Chevallardqui gouvernent les entiers naturels.11.7. C'est en ce point pourtaht que la culture fait sentir sa pression. Au lieu dejuger l'activité mathematique à ses critères propres, internes à une praxis spécifique, onn'a de cesse qu'elle n'ait été traduite dans les termes de la pensée "familière", à laquelleon suppose (sans que cette hypothèse soit elle-mème nettement explicitée et formellementrevendiquée par ses tenants) que toute "pensée" devrait pouvoir se réduire - sauf à renoncerà exister comme "pensée". On attendra donc ainsi, pour accorder au concept de "nombrenégatif ' son droit à une existence culturellement légitime, que la règie des signes puisses'imager selon les termes d'un "modèle concret", ou, autrement dit, fasse l'objet d'une"représentation mentale". On cherchera à "comprendre" pourquoi "moins par moins égaleplus"; et, faute d'un modèle adéquat qui emporterait aisément l'adhésion, l'enseignant devrase contenter d'user de son autorité pour faire prévaloir enfin un point de vue que résumentbien ces deux vers attribués parfois au poète W.H. Auden:Minus times minus is plusThe reason far this we must not discuss.12. Un laminage culture! et idéologique12.1. Cet écrasement culturel de l'algebre, relayé au sein mème de la noosphère, onFa dit, et qui pése sur les pratiques d'enseignement, se traduit dans les faits par au moinstrois séries de conséquences didactiques, que nous examinerons tour à tour.12.2. Tout d'abord, il fait perdre de vue ce fait que, si elle manque de dignité auregard des valeurs de la culture dominante, l'algebre éiémentaire est, mathématiquement, unauthentique instrument de création de concepts. On a dit comment elle permettait de forgerle concept de "système des nombres négatifs" (et donc de systèrne des nombres relatifs);mais, semblabìement, elle fournit l'outil qui permet de créer le concept de "système desnombres rationnels": a et b étant des entiers naturels (ou des entiers relatifs), et a étant nonnul, Féquation ax = b a une solution unique que Fon noterà b/a. Si k est un entier nonnul, les équations ax = b et kax = kb sont équivalentes, de sorte que kb — ka = b/a (unmème nombre rationnel a ainsi une infinite de noms de la forme b/a). Comme il en allaità propos des négatifs, les "règles" du calcul sur les rationnels, en outre, se déduisent alorsentièrement de cette définition (qui ne fait appel à aucun "modèle" extramathématique).Pour déterminer b/a + d/c, considérons ainsi les équations ax = b et cy = d. Multipliantla première par e et la seconde par a, on obtient, par addition membre à membre,ac(x + y) = ad + bc,équation qui montre que b/a + d/c = (ad + bc)/ac. Et de mème pour la multiplicationdes rationnels. Par un procède identique encore, on peut alors créer les nombres irrationels