Y. Chevallard ENSEIGNEMENT DE L'ALGEBRE - Seminario ...

206 Y. Chevallard(celle d'un "word problem"). Or on se trouve là devant une situation verrouillée: cettediffìculté réellé ne peut guère ètre prise en compte, dans la pratique de l'enseignement, dansla mesure précisément où l'algebre est regardée a priori comme sans grande valeur, sansdignité, indigne du temps que nécessiterait en fait la doublé exigence didactique consistantà poser le problème de ses emplois et à créer les conditions d'une maitrise de ses emplois.13.2. Retournons ici un instant à l'idée d'une initiation "fonctionnelle" à l'algebreélémentaire, telle qu'on l'a évoquée plus haut. L'une des conditions nécessaires à une telleapproche est, bien entendu, que soit créé et reconnu (au moins) un domaine d'interventionde l'oUtil algébrique disponible très tòt dàns le cursus des études, et qui puisse intervenirpòurtartt dans cet apprentissage à l'instar du domaine mis en place ultérieurement avec lecalcul différentiel et integrai élémentaire (par exemple). On a rencontré plus haut deuxdomaines possibles: l'un emprunté à la tradition de l'arithmétique élémentaire, celui des"problemes concrets" - celui, donc, de la modélisation (algébrique) de situations où desystèmes divers (liés à la vie quotidienne, ou à différents secteurs de l'étude de la nature,etc); l'autre, intramathématique, inspiré de certaines pratiques des mathématiques savantes,dans lequel Vobjet d'étude est constitué du système des nombres entiers naturels.13.3. L'articulation d'un premier apprentissage de l'algebre autour de l'un oude l'autre de ces domaines d'intervention potentiels pose un ensemble considérable deproblemes d'ìngénierie'didactique, dont les analyses précédentes permettent de se faireune première idée. Nous ne retiendrons ici que l'exemple du second domaine mentionné,dont nous avons donne plus haut une illustration ("la somme de deux nombres impairssuccessifs est un multiple de 4"). La mise en place de ce cadre fonctionnel d'apprentissagede l'algebre a été tentée dans une recherche menée a l'IREM d'Aix-Marseille par MichelJullien et l'auteur. Elle se heurte à un certain nombre de contraintes didactiques que nousne ferons ici que signaler.13.4. Tout d'abord, la constitution de ce domaine comme secteur des mathématiquesenseignées suppose qu'on lui donne une place qui, en fait (et contrairement au domainedes "problemes concrets"), n'a jamais véritablement existé dans l'enseignement. On estdonc affrante à un problème de création didactique, qui soulève des difficultés écologiquesdéterminées. La structure du temps didactique doit ètre remaniée en conséquence, pourfaire droit à un "tout structure" qui comporte une logique certaine, mais qui entre en conflitavec l'organisation des mathématiques enseignées devenue traditionnelle. C'est ainsi parexemple que le processus adopté dans la recherche mentionnée et qui, dans une premièreétape, met d'abord en place ces outils que constituent les équations du premier degré etle calcul algébrique élémentaire, puis enchaine sur une second étape en laquelle ces outilssont alors mis en oeuvre pour créer - comme on l'a dit - le système des nombres rationnels,entre en conflit avec une organisation dans laquelle l'introduction des différents systèmes