Y. Chevallard ENSEIGNEMENT DE L'ALGEBRE - Seminario ...

188 K Chevallardde degré supérieur jusqu'à ce que, entre la fin du XVIIIe siècle (Vandermonde, Lagrange)et le début du XlXe (Abel, Galois), l'ori parvienne à une réponse negative (impossibilitéde la résolution algébrique, "par radicaux", des équations de degré supérieur ou égal à 5),en mème temps que se créent, comme sous-produits promis à un magnifique avenir, lespremiers concepts de 1'"algebre moderne".3. L'outil que constitue le calcul algébrique - sous sa forme "symbolique" moderne,par oppositiòn aux formes "rhétorique" et "syncopée" que distinguait Nesselmann (1842)- pénètre (non sans résistances parfois, comme on l'observe à propos de la "geometriepurè") tous les domàines des mathématiques et trouve des champs d'application nouveauxen geometrie (Descartes) et en théorie des nombres d'abord, puis, en une extension illimitée,dans l'analyse mathématique - l'"analyse algébrique" -, avec la création, à la fin du XVIIesiècle, du calcul infinitésimal. ,. ' •9. La spécificité de l'algebre enseignée9.1. Jusqu'à un certain point, l'enseignement de l'algebre au collège puis au lycée -mais au collège surtout, puisque e'est là que se font les apprentissages fondamentaux à cetégard - répond, dans son organisation, à la description donnée ci-dessus de revolution del'algebre savante. Les équations (du premier, puis du second degré) y occupent une placenon négligeable et, surtout, le calcul algébrique s'y trouve (relativement) fort développé.Nous montrerons pourtant dans ce qui suit que, au-delà de la permanence des domàineset des notions, la perspective, la problématique dans laquelle ces thèmes apparaissent vontchanger.9.2. Le développement du calcul algébrique, historiquement, est lié d'abord àla théorie des équations. Or, l'enseignement du collège nous montre une disproportionfrappante entre les exercices de calcul algébrique proposés aux élèves, d'une part, et lescalcul algébrique effectivement exigés d'eux dans le cadre de la résolution d'équations,d'autre part: ceux-ci sont généralement beaucoup plus "simples" que ceux-là. Le thèmedes équations ne suffìrait donc pas à justifìer, s'il en était besoin, l'importance donnée aucalcul algébrique. Si maintenant - en se guidant ici sur l'hisoire de l'algebre -, on chercheà se tourner vers d'autres cadres qui pourraient requérir une maitrise plus avancée du calculalgébrique, force est de constater qu'on ne les trouve guère - au collège du moins.9.3. En réalité de tels cadres existent, ou existent bien davantage, au lycée. Lepremier bénéfice de l'investissement réalisé au collège en matière de calcul algébrique,l'élève va le recevoir, en effet, lorsqu'il abordera le thème du calcul des fonctions dérivées,dès lors qu'il aura affaire aux fractions rationnelles par exemple. Ce constat est corrélatifd'un autre trait general de l'enseignement de l'algebre élémentaire: à défaut de pouvoirdisposer de domàines d'interventions adaptés, l'apprentissage du calcul algébrique se fait, à