Y. Chevallard ENSEIGNEMENT DE L'ALGEBRE - Seminario ...

192 Y. ChevallardCette limitation traduit la capacité qu'a l'enseignant, lorsqu'il opere à l'intérieur d'un teicadre formel, d'engendrer des compòrtements de manipulation d'expressions algébriques.Travaillantà vide sur ces expressions,l'élève ne peut agir qu'en se référant à quelquesconsignes purement formelles: "calculer'', "développer", "fàctoriser", "simplifier" (avecquelques variantes parfois: "calculer le plus simplement possible", etc). Pour mieuxsouligner en quoi la thématique des compòrtements induits est pauvre, nous prendronsencore un exemple. Gonsidérons l'expression iittérale (2a 4- 1) 4- ((2o 4- 1) 4- 2). Si Fonse demande quel traitement formel de cette expression l'enseignant va pouvoir obtenir del'élève dans un cadre formel, la réponse est aisée. La seule des consignes précédemmentcitées qui soit ici mobilisable est en effet: "calculer l'expression..." - consigne qui, sauferreur de l'élève, produira un comportement de calcul du type suivant (correspondantclassiquement à la "réduction des termes semblables"):(2a 4-1) 4- ((2a + 1) + 2) = (2a + 1) + (2o + 3) = 2a + 2o + 1+.3 = 4o + 4 .'La comparaison avec les différents traitement formeIs que l'enseignant pourra obtenirde l'élève dans un cadre fonctionnel est, par contraste, éclairante. Voici un premier énoncé(dans tout ce qui suit, les nombres considérés sont des entiers naturels):"On considère deux entiers impairs successifs. Montrer que leursomme est un multiple de 4, c'est-à-dire un nombre de la forme 4A, oùA est un entier".La réponse à cette consigne peut alors ètre la suivante."Soit 2a + 1 le premier entier impair. Son successeur impair est alors(2a + 1) + 2. La somme des deux entiers impairs successifs est:(2o + 1) + ((2o 4-1) + 2)soit encore ... 4a + 4 = 4(a 4-1), expression montrant que la somme est bienun multiple de 4."Dans ce cas, l'élève est conduit, pour des raisons liées au problème à résoudre, àarrèter son calcul, non pas sur la forme 4a 4-4, mais, allant plus loin, sur la forme 4(a 4-1).Mais voici maintenant un autre énoncé mettant en jeu (le cas échéant) la mème expressionalgébrique:"Soient deux entiers impairs successifs. Montrer que leur somme estégale à 2 fois Ventier pair compris entre eux"Dans ce cas, le calcul, mene d'abord jusqu'à la forme Aa + 4, se poursuit, maisautrement qu'on ne Fa fait dans le premier cas examiné. L'élève devrait en effet écrire ici:4o 4-4 = 2(2a 4-2) .