Y. Chevallard ENSEIGNEMENT DE L'ALGEBRE - Seminario ...

190 Y. Chevallardf(x) = (2(tf+ 1) - 2(2z + 3))/(z + l) 3(***) = (-2x - 4)/(z + l) 3'.'= .-2(i + 2)/(z + l) 3 .9.5. Cet exemple permet d'apercevoir deux faits essentiels. D'une part, le premierapprentissage du calcul algébrique - étalé en France sur les années de quatrième et detroisième - se fait dans un cadre formel, et non dans un cadre fonctionnel. D'autre part,et en conséquence - si du moins l'élève poursuit ses études généràles (dans le cadre del'enseignement du lycée) -, les acquis de ce premier apprentissage seront mis à l'épreuvedans un cadre autre, fonctionnel celui-là, et se trouveront donc retravaillés et remaniés,dès lors que l'élève sera amene à faire usage du calcul algébrique à titre de moyen oud'outil dans des domaines variés des mathématiques. On ne s'arrètera pas sur ce secondaspect ici, se contenant de souligner que, dans cette seconde phase, et au contraire de cequi se passe dans la première, il y aura apprentissage sans qu'il y ait à proprement parlerenseignement, i.e. sans qu'il y ait intention d'enseigner à l'élève un autre type de rapportau calcul algébrique. (Les enseignants de lycée penseht généralement la mise en oeuvre ducalcul algébrique que suppose l'enseignement qu'ils donnent comme une simple applicationd'un savoir déjà constitué et, en conséquence, s'étonneront, ou s'indigneront parfois, del'inhabileté des élèves à cet égard.)9.6. Nous nous limiterons dans ce qui suit à une analyse rapide du premierapprentissage du calcul algébrique. Cet apprentissage, avons-nous dit, se fait dans uncadre "formel". Or on touche là a une manière de paradoxe: l'apprentissage des aspectsformeIs des mathématiques (en l'espèce, du calcul algébrique) ne peut se réaliser que demanière très inadeguate dans un tei cadre formel... Mais en fait, il n'y a là nul paradoxe.Il s'agit en effet de faire acquérir à l'élève la maitrise de la manipulation formelle desexpressions algébriques; or, comme dans tou't domaine soumis à un système de règles -que l'on songe ici à un jeu, tei les éches-, cette maitrise ne porte pas que sur les règles prisescomme schèmes d'actions séparés des situations dans lesquelles elles pourront étre misesen oeuvre; elle devrait, en son principe - c'est-à-dire par référence à l'usage effectif desces règles dans le cadre de la pratique mathématique -, porter tout autant sur la maitrise del'emploi pertinent, fonctionnel, des règles formelles dont 1'"apprentissage" est visé. C'estun premier aspect, que nous avons déjà souligné plus haut, et sur lequel on ne saurait tropinsister.9.7. Car en réalité le calcul formel qui constitué le support du premier apprentissagedu calcul algébrique suppose de toute facon un cadre de référence. A défaut d'un cadreexplicite fournissant un guide à la conduite du calcul, et par rapport auquel le calculalgébrique apparaitrait comme un outil aux emplois divers, il existe bien un cadre de