Y. Chevallard ENSEIGNEMENT DE L'ALGEBRE - Seminario ...

200 Y. Chevallardmots... sont souvent regardés comme synonymes"), d'Alembert écrivait: "L'analyse estl'instrument ou le moyen general par lequel on a fait depuis près de deux siècles, dans lesMathématiques, de si belles découvertes. Elle fournit les exemples les plus parfaits de lamanière dont on doit employer l'art du ràysonnement, donne à l'esprit une merveilleusepromptitude pour découvrir des choses inconnues, au moyen d'un petit nombre de données;& èn employant des signes abrégés et faciles pour exprimer les idées, elle présente àl'entendement des choses, qui autrement sembleraient étre hors de la sphère".11.3. Cette fervente déclaration contraste avec le destin culturel de l'algebre - de"l'analyse algébrique". D'Alembert la présente comme terre d'élection du "raisonnement";mais, culturellement, elle fut toujours, et demeure jusqu'à ce jour, rejetée hors de valeursnòbles de la culture, exclue de l'ordre de la pensée, et étrangère à son plus beau fleuron, le"raisonnement". A rebours, geometrie et arithmétique ont été mélées consubstanciellement,dès l'origine, au terreau sur lequel s'est élevée la "culture occidentale" (prise ici comme untout). Que chacune d'elles se soit trouvée clivée (et cela dès l'origine) entre une partie nobleet spéculative et une partie basse et appliquée - geometrie et arithmétique pratiques -, aseulement permis un jeu utile entre diverses "perspectives" d'enseignement d'une "mème"matière-"la geometrie", "l'arithmétique".11.4. L'algebre, au contraire, a resistè à la culture occidentale, et, dualement, n'ajamais été vraiment adpptée par elle, apparaissant, en son sein, comme un corps étranger.Il y a ici une continùité d'attitude frappante, qui va des formes élevées du discoursphilosophique - les philosophes ont glosé sur la geometrie, et à peu près complètementignoré l'algebre - aux formes les plus ordinaires de la représentation sociale. Or cettesituation de "l'algebre dans la culture" (situation que nous n'étudierons pas davantage ici)a eu et continue d'avoir des effets déterminés sur l'enseignement de l'algebre.11.5. Elle a des effets déjà sur les mathématiciens eux-mèmes: c'est ainsi qu'onveut voir, dans la querelle qui, au XlXe siècle, opposa les tenants d'une geometrie "pure"(ou "synthétique"), tei J.Steiner, aux méthodes de la geometrie "analytique", l'influencede la péjoration culturelle de l'algebre (sans, bien sur, que cela enlève rien au renouveauapporté par les travaux de geometrie pure). Mais on noterà aussi que ces effets se fontsentir encore aujourd'hui, et d'une manière très prégnante, au sein de la noosphère - enparticulier dans la recherche sur l'enseignement des mathématiques. Sur ce point, quiexigerait une étude séparée, nous ne signalerons ici que quelques indices: l'intérét porte àla question des word problems ou verbal arithmetic problems (par la recherche américaineet, plus largement, par la recherche internationale située dans sa mouvance), corrélatifd'un manque d'intérèt (visible au faible volume des travaux qui lui sont consacrés) pourle thème du traitement algébrique des problèmes (en lequel, nous l'avons dit, Viète oud'Alembert voyaient pourtant une revolution dans les mathématiques); le succès de théories