3.3.1. cauchy-féle feszültségtenzor - Műszaki Mechanikai Tanszék ...

8
2. ábra: Az elmozdulásvektor.
t 0
A deformáció során P és P között értelmezhető az elmozdulásvektor (displacement vector),
amely megadható mind az azonosító konfiguráció, mind a pillanatnyi konfiguráció bázisaival.
Mindkét esetben az u jelölés használata történik.
u= U E ≡u
e . (3.2)
A A a a
u= x−X. (3.3)
Az alakváltozási gradiens tenzor (deformation gradient tensor) számítása:
∂x
∂ϕ
a
( X, t) ( X,
t)
F=∇ Xx=∇ Xϕt
= = EA ⊗ ea = FAaEA
⊗ea,
(3.4)
∂X∂X ahol { E } és { }
e a a= 1,2,3 0 Ω és t
A
A Ω ortonormált bázisait jelentik. Az alakváltozási gradiens
A= 1,2,3
tenzor segítségével képezhető a kapcsolat a pillanatnyi és az azonosító vonalelem, felületelem és
térfogatelem között:
x F X a JF A v J V , (3.5)
−T
d = d , d = d , d = d
ahol J = det F a térfogatváltozás mértéke (Jacobi-determináns).
Mivel az anyagi kontinuumelem leképzése során a tükrözés fizikailag nem valósítható meg, emiatt
jogos az a feltételezés, hogy J > 0 . Másképpen megfogalmazva: a kontinuumelem mindig
pozitívnak vett dV térfogateleme a leképzés során mindig pozitív dv térfogatelembe megy át.
Amennyiben a tükrözés lehetséges lenne, akkor dv negatív előjelűvé válhatna [29].