3.3.1. cauchy-féle feszültségtenzor - Műszaki Mechanikai Tanszék ...

40
6.1.1. ANALITIKUS MEGOLDÁS A TRUESDELL-FÉLE FESZÜLTSÉG-SEBESSÉG
HASZNÁLATA ESETÉN
Az (3.133) szerinti Truesdell-féle feszültségsebességet behelyettesítve a (6.17) szerinti konstitutív
egyenletbe (figyelembe véve, hogy jelen esetben τ ≡ σ, valamint tr ( d ) = 0 ):
� l l d.
(6.18)
T τ−τ − τ= 2μ
Felhasználva l -re és d -re kapott (6.8) és (6.9) szerinti összefüggéseket, a feszültségkomponensekre
az alábbi differenciálegyenlet rendszer adódik:
τ�11 − 2τ12γ� = 0,
τ�12 − τ22γ�=
μγ, �
τ�
22 = 0,
τ�
= 0.
33
Átírva a differenciálegyenlet-rendszert:
A ( 0)
(6.19)
dτ11 dτ12 dτ22
dτ33
− 2τ12 = 0, − τ 22 = μ, = 0, = 0.
(6.20)
dγ dγ dγ dγ
τ γ = =0kezdeti
feltétel figyelembe vételével a differenciálegyenlet rendszer megoldása:
τ μγ τ = τ = τ =
(6.21)
2
11 = , 12 μγ,
22 0, 33 0.
6.1.2. ANALITIKUS MEGOLDÁS AZ OLDROYD-FÉLE FESZÜLTSÉG-SEBESSÉG
HASZNÁLATA ESETÉN
Felhasználva a (3.137) szerinti azonosságot és figyelembe véve, hogy jelen esetben J = 1,
az
Oldroyd-féle feszültség-sebesség használata esetén az analitikus megoldások megegyeznek a
Trusdell-féle feszültség-sebesség alkalmazása esetén számított (6.21) szerinti megoldásokkal:
τ μγ τ = τ = τ =
(6.22)
2
11 = , 12 μγ,
22 0, 33 0.
6.1.3. ANALITIKUS MEGOLDÁS A COTTER-RIVLIN-FÉLE FESZÜLTSÉG-
SEBESSÉG HASZNÁLATA ESETÉN
Alkalmazva az (3.135) szerinti összefüggést a (6.17) szerinti anyagtörvényben, megkapjuk a Cotter-
Rivlin-féle feszültség-sebesség használata esetén érvényes hipoelasztikus konstitutív egyenletet:
� l l d.
(6.23)
T τ+ τ + τ= 2μ
A d -re, illetve l -re kapott összefüggések behelyettesítése után a feszültségkomponensekre adódó
differenciálegyenlet-rendszer a következő: