3.3.1. cauchy-féle feszültségtenzor - Műszaki Mechanikai Tanszék ...

22
3.3.2. ELSŐ PIOLA-KIRCHHOFF-FÉLE FESZÜLTSÉGTENZOR
Az első Piola-Kirchhoff-féle feszültségtenzor a df elemi erővektor és a dA = dA
N felületelem
vektor között teremt kapcsolatot:
df = PdA. (3.78)
Behelyettesítve a felületelem vektorok között érvényes
T
d = d = d
1
A F a transzformációt:
J
T
d = d
1
f P F a σ a,
(3.79)
J
ahonnan a Cauchy- és az első Piola-Kirchhoff-féle feszültségtenzor közötti összefüggés:
1
σ = PF , P = JσF
J
T −T
. (3.80)
3.3.3. MÁSODIK PIOLA-KIRCHHOFF-FÉLE FESZÜLTSÉGTENZOR
A második Piola-Kirchhoff-féle feszültségtenzor a 0
vektor között teremt kapcsolatot:
0
df elemi erővektor és a dA = dA
N felületelem
df = SdA. (3.81)
Behelyettesítve a df 0 és df közötti, és a dA és da közötti kapcsolatot:
1
d d
J
−1
T
F f = S F a
T
d = d = d
, (3.82)
1
f FSF a σ a,
(3.83)
J
ahonnan a Cauchy- és a második Piola-Kirchhoff-féle feszültségtenzor közötti összefüggés:
1
σ = FSF , S = JF
σF
J
T −1 −T
3.3.4. KIRCHHOFF-FÉLE FESZÜLTSÉGTENZOR
. (3.84)
A Kirchhoff-féle feszültségtenzort a Cauchy-féle feszültségtenzor és az alakváltozási gradiens
tenzor determinánsának (térfogatváltozás mértéke) szorzata szolgáltatja:
τ = J σ.
(3.85)
Értelmezhető az Ω U konfiguráción a visszaforgatott Kirchhoff-féle feszültségtenzor:
T
T= R R
τ . (3.86)