3.3.1. cauchy-féle feszültségtenzor - Műszaki Mechanikai Tanszék ...

26
Az alakváltozás-sebesség objektivitásának vizsgálata:
( ) ( ) T
+ 1 + + 1 T T T T T
d = ⎡ l + l ⎤ = ⎡ + + + ⎤
2⎢⎣ ⎥⎦
2⎣
QQ � QlQ QQ� Ql Q
⎦
. (3.95)
Elvégezve az alábbi átalakítást:
i
T T d T d
QQ + QQ = QQ = δ = 0
( )
� � , (3.96)
dt dt
emiatt (3.95) az alábbi alakra egyszerűsödik:
1
2
( )
+ T T T
d = Q l+ l Q = QdQ , (3.97)
tehát az alakváltozás-sebesség objektív mennyiség.
Az örvénytenzor objektivitásának vizsgálata:
Mivel
( )
+ + + T T T T T
w = l − d = QQ � + Q d + w Q − QdQ = QQ � + QwQ . (3.98)
+ T
w ≠ QwQ , emiatt az örvénytenzor nem objektív mennyiség.
A 6. ábra szerinti df elemi erővektor és da= da
n felületelem vektor a
+
Ω konfigurációban:
+
df = Qdf , (3.99)
+
da = Qda. (3.100)
A Cauchy-féle feszültség objektivitásának vizsgálata:
+ + +
df = σ da
, (3.101)
+
Qdf = σ Qda, (3.102)
T + +
T
df = Q σ Qda= σd a, → σ = Qσ Q , (3.103)
tehát a Cauchy-féle feszültség objektív mennyiség.
A Jacobi-determináns objektivitásának vizsgálata:
( F ) ( QF) ( Q) ( F)
+ +
J = det = det = det det = 1⋅
J = J , (3.104)
tehát J objektív skalár mennyiség.
A Kirchhoff-féle feszültségi tenzor objektivitásának vizsgálata:
τ σ σ σ τ
+ + +
T T T
= J = JQ Q = QJ Q = Q Q , (3.105)
tehát a Kirchhoff-féle feszültség is objektív mennyiség.