3.3.1. cauchy-féle feszültségtenzor - Műszaki Mechanikai Tanszék ...

18
3.2.3.2. CAUCHY-FÉLE DEFORMÁCIÓS TENZOR
A Cauchy-féle deformációs tenzor számítása:
−1 −2
c= b = V , (3.56)
⎛ 1 ⎞ ⎛1⎞ c= R ⎜ ⎟R
= R ⎜ ⎟R
⎝λ ⎠ ⎝χ⎠ Spektrális felbontása:
T T
n 2 n n n
3 3 3
1 1 1
c= n ⊗ n = n ⊗ n = p
∑ ∑ ∑
α α 2 α α 2 α
α= 1 χα α= 1 λ α α= 1 λ α
(3.57)
. (3.58)
3.2.3.3. ALMANSI-EULER-FÉLE (HAMEL-FÉLE) ALAKVÁLTOZÁSI TENZOR
3 3
Az e ∈ℜ ×ℜ Almansi-Euler-féle (Hamel-féle) alakváltozási tenzor (Almansi-Eulerian strain
tensor vagy Almansi strain tensor vagy Eulerian strain tensor) meghatározása:
1 1
e = −1 −2
( δ −b) = ( δ −V
) , (3.59)
2 2
1 −1 T 1 −2
T
e= Rn ( δ − χ ) Rn = Rn ( δ−λ ) R n . (3.60)
2 2
Az Almansi-Euler-féle alakváltozási tenzor spektrális felbontása:
3 3 3
1⎛ 1 ⎞ 1⎛ 1 ⎞ 1⎛
1 ⎞
e= ∑ ⎜1− ⎟n ⊗ n = ∑ ⎜1− ⎟n ⊗ n = ∑ ⎜1− ⎟p
⎝ χ ⎠ ⎝ λ ⎠ ⎝ λ ⎠
α α 2 α α 2 α
α= 12 α α= 12 α α= 12
α
. (3.61)
A Green-Lagrange-féle alakváltozási tenzor és az Almansi-Euler-féle alakváltozási tenzor
kapcsolat:
−T −1
T
e= F EF , E= F eF. (3.62)
Az Almansi-Euler-féle alakváltozási tenzorból az alakváltozás-sebesség tenzorig vezető leképzés:
vagyis:
d
T [ ]
[ E]
−T −1
F e F d F ⎡
⎣E� t
⎤
⎯⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→
⎦F
e E E� d,
(3.63)
⎡ d ⎤
d= F T
⎢ ( FeF)
⎣d⎥ F
t ⎦
−T −1
. (3.64)