3.3.1. cauchy-féle feszültségtenzor - Műszaki Mechanikai Tanszék ...

14
3.2. ALAKVÁLTOZÁSI TENZOROK
Az F alakváltozási gradiens segítségével további alakváltozási tenzorok képezhetők az
alakváltozási mértékek meghatározására. Attól függően, hogy az alakváltozási tenzorokat a
pillanatnyi vagy a kezdeti konfigurációban értelmezzük, megkülönböztetünk Euler-féle és
Lagrange-féle alakváltozási tenzorokat.
3.2.1. FAJLAGOS ÍVHOSSZ
Jelölje a kezdeti (deformáció előtti) konfiguráción a kontinuum egy tetszőleges vonalelemének
hosszát dS , a pillanatnyi konfiguráción pedig ds . A vonalelemek pillanatnyi és kezdeti
ívhosszainak hányadosa definiálja a fajlagos ívhosszat (vonalelemarány) (axial stretch):
= ds
λ . (3.29)
dS
3.2.2. ALAKVÁLTOZÁSI TENZOROK A KEZDETI KONFIGURÁCIÓBAN
3.2.2.1. JOBBOLDALI CAUCHY-GREEN-FÉLE DEFORMÁCIÓS TENZOR
A
3 3
C ∈ℜ ×ℜ jobboldali Cauchy-Green-féle deformációs tenzor (right Cauchy-Green
deformation tensor) számítása:
T T
C= F F, C= C . (3.30)
Előállítható a jobboldali nyújtástenzor segítségével is:
valamint
T T T 2
C= F F= U R RU= U , (3.31)
C= R λ R = R χR , (3.32)
2 T T
N N N N
ahol χ a sajátvektorok koordináta-rendszerében értelmezett diagonális tenzor (elemei C
sajátértékei):
2
⎡χ1 0 0 ⎤ ⎡λ1 0 0 ⎤
2 ⎢ 2 ⎥
χ = λ , [ χ]
=
⎢
0 2 0
⎥
⎢
χ
⎥
= ⎢ 0 λ 2 0 ⎥ . (3.33)
2
⎢⎣0 0 χ ⎥ ⎢
3⎦ 0 0 ⎥
⎣
λ 3⎦
A jobboldali Cauchy-Green-féle deformációs tenzor spektrális felbontása:
3
∑ α α α
3
∑
2
α α α
3
∑
2
α α
α= 1 α= 1 α= 1
C= χ N ⊗ N = λ N ⊗ N = λ P . (3.34)