3.3.1. cauchy-féle feszültségtenzor - Műszaki Mechanikai Tanszék ...

24
3.4. OBJEKTÍV FESZÜLTSÉG-SEBESSÉGEK
3.4.1. FIZIKAI OBJEKTIVITÁS
Fizikailag objektív tenzoroknak nevezzük tágabb értelemben azokat a tenzorokat, amelyek
egymáshoz képest tetszőlegesen mozgó koordináta-rendszerek esetén is koordináta-rendszertől
függetlenül értelmezhetők, vagyis tetszőleges transzformációval szemben invariánsok.
A kontinuummechanikai egyenletek fizikai egyenletek, melyeknek nézőponttól függetlennek
(objektívnek) kell lenniük (material frame indifference, material objectivity). Az
objektivitásnak döntő szerepe van a kontinuummechanikában, legfőképpen a konstitutív egyenletek
megalkotásánál.
Az objektivitást kétféleképpen lehet szemléltetni [35]:
1. A kontinuumot és a rá alkalmazott terheléseket változatlanul hagyjuk, és a vonatkoztatási
rendszert (observer’s reference frame) változtatjuk.
2. A vonatkoztatási rendszert változatlanul hagyjuk, és egy merevtest-szerű mozgást (rigid body
motion) alkalmazunk a testre. Ekkor minden egyes anyagi ponthoz egy szuperponálódó mozgás
adódik, továbbá a kontinuumra alkalmazott terhelések a járulékos mozgás szerint
transzformálódnak.
A merevtest-szerű mozgás alkalmazása során a kontinuumelemkre vonatkozó relatív távolságok
+
változatlanok maradnak. A szuperponálódó mozgás után az anyagi pontok a x helyzetet foglalják
el a + t = t+ a időpillanatban, ahol a konstans (a „ + ” felső index a merevtestszerű mozgás után
érvényes mennyiségekre vonatkozik). Jelölje P + a kontinuum tetszőleges anyagi pontját a
+
merevtest-szerű mozgás után érvényes Ω konfigurációban.
P + és
0
P közötti leképzés:
( , t)
+ +
x = t X
ϕ . (3.87)
Behelyettesítve a 0
P és t
−1
P közötti X = t ( x)
összefüggést:
( , t)
+ +
x t x
ϕ inverz leképzést megkapjuk a P + és t
P közötti
= ϕ � . (3.88)
Amennyiben a szuperponálódó mozgás merevtest-szerű forgatás, akkor az +
x és x közötti
összefüggés:
+
x = Q() t x,
(3.89)
ahol Q() t az ortogonális forgástenzor, az alábbi tulajdonságokkal:
T
QQ = δ
−1
T
,
Q = Q
det = 1.
( Q)
(3.90)