3.3.1. cauchy-féle feszültségtenzor - Műszaki Mechanikai Tanszék ...

More documents

Recommendations

Info

34 4. HIPOELASZTIKUS ANYAGMODELL A hipoelasztikus testek elméletének megalapozója Truesdell volt, aki a konstitutív egyenletet az alábbi formában közölte [54]: ο ο * * : σ = H d , (4.1) * * * ahol σ a Cauchy-féle feszültség objektív deriváltja (objektív feszültség-sebesség), H = H ( σ) feszültségtől függő negyedrendű hipoelasztikus érintő tenzor (hypo-elasticity tensor), d az alakváltozás-sebesség tenzor. A hipoelasztikus konstitutív egyenlet Kirchhoff-féle feszültségre érvényes alakja: ο * * : τ = H d . (4.2) Nulladrendű hipoelasztikus anyagtörvényről beszélünk abban az esetben, ha következő: = = ⊗ + * H alakja a * H C λδ δ 2μI , (4.3) ahol λ, μ a Lamé-állandók és I jelenti a negyedrendű egységtenzort. Ez esetben a (4.2) szerinti a konstitutív egyenlet az alábbi formában is felírható: ο * ( ) τ = λtr d δ + 2μ d . (4.4) A (4.2) szerinti hipoelasztikus konstitutív egyenlet széles körben alkalmazott véges rugalmasképlékeny alakváltozásoknál. Objektív feszültség-sebességként leginkább a Zaremba-Jaumann- Noll-féle feszültség-sebesség volt az alkalmazott, mindaddig, amíg ki nem mutatták az egyszerű nyírás esetén a feszültségekben mutatkozó oszcilláló jelleget. Számos más objektív feszültségsebesség használata került javaslatra, melyek közül az utóbbi években egyre jobban a logaritmikus feszültség-sebesség kerül előtérbe a következő előnyös tulajdonsága miatt: az összes ismert feszültség-sebesség közül egyedül a logaritmikus derivált esetén integrálható a (4.4) szerinti hipoelasztikus konstitutív egyenlet [16]. Feszültségmentes kezdeti konfiguráció esetén (4.4) integrálásával nyert izotrop hiperelasztikus konstitutív egyenlet a következő: ( ) τ = λtr h δ + 2μ h , (4.5) ahol h a pillanatnyi konfiguráción értelmezett Hencky-féle alakváltozási tenzor. (4.5) az alábbi alakban is felírható: τ = C : h . (4.6)
5. HIPERELASZTIKUS TESTEK ( , ) A hiperelasztikus testek elméletének alapja az, hogy feltételezi egy olyan ( ) Ψ F X X alakváltozási energia függvény (potenciál) létezését, amely adott időpillanatban csakis az F alakváltozási gradiens és az X hely függvénye, továbbá az alakváltozási energia a deformáció során kizárólag a kiindulási- és a végállapot függvénye [6]. A tömegegységre vonatkoztatott energiasűrűség számítása a konjugált feszültségi és alakváltozási tenzorok segítségével [5]: 1 1 1 1 1 1 D = σ d= τ d= τ h = P F� = S E� = S C� (5.1) ρ ρ ρ ρ ρ ρ ο log : : : : : : 0 0 0 0 2 0 alakú, ahol felhasználásra került a logaritmikus derivált azon tulajdonsága, hogy a pillanatnyi konfiguráción értelmezett h Hencky-féle alakváltozási tenzorra alkalmazva a d alakváltozássebesség tenzort adja [55], [56]. Fontos meghegyezni, hogy a Kirchhoff-féle feszültségi tenzor és h Hencky-féle alakváltozási tenzor csak izotrop esetben képez konjugált párt. Az azonosító konfiguráción a térfogategységre vonatkoztatott energiasűrűség (5.1) felhasználásával: ο log 1 0 = τ = τ = = = 2 ρ D : d : h P: F� S: E� S: C�. (5.2) Hiperelasztikus testeknél az útfüggetlenség következményeként az alakváltozási energia az alábbi formában írható: Továbbá: ( F( X) X) Ψ , = ρ Dt d , ( ( ) ) t ∫ 0 t0 t t t t t ο log � � 1 2 Ψ F X , X = τ: dd t = τ: h d t = P: Fd t = S: Ed t = S: C�d t. Ψ= � ρ D, 0 ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ t0 t0 t0 t0 t0 ο log 1 2 Ψ= � : d= : h = P: F� = S: E� = S: C�. τ τ (5.4)2 felhasználásával az egyes feszültségtenzorokat megkapjuk az alakváltozási energiának a megfelelő feszültségi tenzorhoz tartozó konjugált alakváltozási tenzorral képzett parciális deriválásával: 35 (5.3) (5.4) ∂Ψ ∂Ψ ∂Ψ ∂Ψ τ = , P= , S= , S= 2 . (5.5) ∂h ∂F ∂E ∂C (5.5)1 felírásában felhasználásra került a (3.91)3 szerinti objektivitási törvény, miszerint skalár értékű változó idő szerinti deriváltja és tetszőleges együttforgó deriváltja azonos.
Page 5: Budapesti Műszaki és Gazdaságtud
Page 8 and 9: viii
Page 10 and 11: x 6.1.5. Analitikus megoldás a Zar
Page 12 and 13: 2 Az analitikus számításokat tar
Page 14 and 15: 4 δ másodrendű egységtenzor, I
Page 16 and 17: 6 2. IRODALMI ÁTTEKINTÉS A hipoel
Page 18 and 19: 8 2. ábra: Az elmozdulásvektor. t
Page 20 and 21: 10 A 2. ábra a poláris felbontás
Page 22 and 23: 12 4. ábra: A Lagrange- és Euler-
Page 24 and 25: 14 3.2. ALAKVÁLTOZÁSI TENZOROK Az
Page 26 and 27: 16 J� előállítható a Green-La
Page 28 and 29: 18 3.2.3.2. CAUCHY-FÉLE DEFORMÁCI
Page 30 and 31: 20 2. Táblázat: Általánosított
Page 32 and 33: 22 3.3.2. ELSŐ PIOLA-KIRCHHOFF-FÉ
Page 34 and 35: 24 3.4. OBJEKTÍV FESZÜLTSÉG-SEBE
Page 36 and 37: 26 Az alakváltozás-sebesség obje
Page 38 and 39: 28 3.4.2.2. EGYÜTTFORGÓ OBJEKTÍV
Page 40 and 41: 30 A jellegzetes spintenzorok, és
Page 42 and 43: 32 3.4.3. OBJEKTÍV FESZÜLTSÉG-SE
Page 46 and 47: 36 Amennyiben az alakváltozási en
Page 48 and 49: 38 Az alakváltozási gradiens szá
Page 50 and 51: 40 6.1.1. ANALITIKUS MEGOLDÁS A TR
Page 52 and 53: 42 τ γ = =0kezdeti feltétel figy
Page 54 and 55: 44 Elvégezve a behelyettesítések
Page 56 and 57: 46 A megoldandó differenciálegyen
Page 58 and 59: 48 6.1.9. ANALITIKUS MEGOLDÁS A LO
Page 60 and 61: 50 14. ábra: Analitikus megoldás
Page 62 and 63: 52 τ12 = 2μ 2 4 + γ ⎛ 1 2 1 ln
Page 64 and 65: 54 1. szakasz: A 2-es irányú elmo
Page 66 and 67: 56 = ⊗ + 1 ⊗ + ⊗ − ⊗ ,
Page 68 and 69: 58 −1 F = E1⊗ E1+ 1 AE2⊗ E2 +
Page 70 and 71: 60 1 ⎡ 0 2 γ� 0⎤ 1 T 1 1 w =
Page 72 and 73: 62 6.2.2. ANALITIKUS MEGOLDÁS AZ O
Page 74 and 75: 64 6.2.4. ANALITIKUS MEGOLDÁS A ZA
Page 76 and 77: 66 (6.146)-nek, (6.88)-nek a (4.4)
Page 78 and 79: 68 3. szakasz: Behelyettesítve (6.
Page 80 and 81: 70 4. szakasz: A megoldandó differ
Page 82 and 83: 72 Mivel tr ( h) = ln A m , így (4
Page 84 and 85: 74 6.2.7. EREDMÉNYEK ÖSSZEHASONL
Page 86 and 87: 76 Oldroyd-féle feszültség-sebes
Page 88 and 89: 78 Zaremba-Jaumann-Noll-féle fesz
Page 90 and 91: 80 Logaritmikus feszültség-sebess
Page 92 and 93: 82 A 52.-55. ábrák az együttforg
Page 94 and 95:
84 60. ábra: Maradó σ12 feszült
Page 96 and 97:
86 7. NUMERIKUS SZÁMÍTÁSOK 7.1.
Page 98 and 99:
88 i 1 1 C = C − C = F F −F F
Page 100 and 101:
90 1 2 1. A ferdén szimmetrikus sz
Page 102 and 103:
92 72. ábra: Green-McInnis-Noll-f
Page 104 and 105:
94 ( : ) T T T σn+ 1= Λ ⎡ ⎤ n
Page 106 and 107:
96 DSTRAN(NTENS) TIME(1) TIME(2) DT
Page 108 and 109:
98 () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) σ ( ) ε
Page 110 and 111:
100 XSCAL: 3x3-as szimmetrikus mát
Page 112 and 113:
102 XEXP: Ferdén szimmetrikus 3x3-
Page 114 and 115:
104 OLOGM2: Logaritmikus spintenzor
Page 116 and 117:
106 DATA Y0,Y1,Y2/0.D0,1.D0,2.D0/ D
Page 118 and 119:
108 DO I=1,3 DO J=1,3 XBD(I,J)=0 DO
Page 120 and 121:
110 DDSDDE(2,3)=P2 DDSDDE(3,1)=P2 D
Page 122 and 123:
112 CALL XEXP(ARGN1,ARGN1EXP) CALL
Page 124 and 125:
114 C C Jacobi-determinánsok szám
Page 126 and 127:
116 C Az ortogonális forgatótenzo
Page 128 and 129:
118 DATA Y0,Y0E5,Y1,Y2,Y3/0.D0,0.5D
Page 130 and 131:
120 C C Spintenzor megadása C IF (
Page 132 and 133:
122 C együttforgó konfigurációb
Page 134 and 135:
124 END DO END DO C C Alakváltozá
Page 136 and 137:
126 CALL XEXP(ARGNA,ARGNAEXP) CALL
Page 138 and 139:
128 7.6. EGYSZERŰ NYÍRÁS MODELLJ
Page 140 and 141:
130 *Boundary _PickedSet6, PINNED *
Page 142 and 143:
132 81. ábra: 3. terhelési szakas
Page 144 and 145:
134 *Depvar 9, *User Material, cons
Page 146 and 147:
136 *Static, direct 0.1, 1., ** **
Page 148 and 149:
138 7. Táblázat: σ12 feszültsé
Page 150 and 151:
140 89. ábra: σ12 feszültségkom
Page 152 and 153:
142 9. Táblázat: σ12 feszültsé
Page 154 and 155:
144 11. Táblázat: σ33 feszülts
Page 156 and 157:
146 95. ábra: σ12 feszültségkom
Page 158 and 159:
148 8. ÖSSZEFOGLALÁS A dolgozatba
Page 160 and 161:
150
Page 162 and 163:
152 [13] Bruhns, O. T. & Xiao, H. &
Page 164 and 165:
154 [39] Nefussi, G. & Dahan, N., [
Page 166:
156 [64] Xiao, H. & Bruhns, O. T. &
show all

3.3.1. cauchy-féle feszültségtenzor - Műszaki Mechanikai Tanszék ...

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?