3.3.1. cauchy-féle feszültségtenzor - Műszaki Mechanikai Tanszék ...

38
Az alakváltozási gradiens számítása:
( )
⎡1 γ t 0⎤
∂x ∂xa
⎢ ⎥
F= = ea ⊗ EA, [ F]
=
⎢
0 1 0
∂ ∂
⎥ , (6.3)
X X A
⎢0 0 1⎥
⎣ ⎦
illetve a kezdeti konfiguráció bázisaival kifejezve:
() 1 2
F = δ + γ t E ⊗E
. (6.4)
A térfogatváltozás mértéke (Jacobi-determináns):
( F)
J = det = 1.
(6.5)
Az alakváltozási gradiens idő szerinti deriváltja, illetve inverze:
⎡0 γ�
0⎤
F� = γ�
E1⊗ E2, ⎡ ⎤ =
⎢
0 0 0
⎥
⎣F� ⎦ ⎢ ⎥
, (6.6)
⎢⎣0 0 0⎥⎦
⎡1 -γ 0⎤
−1 −1
F = δ −γ E1⊗ E2, ⎡ ⎤ =
⎢
0 1 0
⎥
⎣F ⎦ ⎢ ⎥
. (6.7)
⎢⎣0 0 1⎥⎦
Az Euler-féle sebességmező gradiens tenzor:
⎡0 γ�
0⎤
−1
l = FF � = γ�
E1⊗ E2, ⎢
[] l = 0 0 0
⎥
⎢ ⎥
. (6.8)
⎢⎣0 0 0⎥⎦
Az alakváltozás-sebesség tenzor és az örvénytenzor számítása:
1 ⎡ 0 2 γ�
0⎤
1 T 1
1
d= ( l+ l ) = γ�( E1⊗ E2 + E2⊗ E1) ,
⎢
[ d]
= 2 0 0
⎥
2 2
⎢
γ�
⎥
, (6.9)
⎢⎣ 0 0 0⎥⎦
1 ⎡ 0 2 γ�
0⎤
1 T 1
1
w = ( l− l ) = γ�( E1⊗E2 −E2⊗ E1) ,
⎢
[ w]
= 2 0 0
⎥
2 2
⎢
- γ�
⎥
. (6.10)
⎢⎣ 0 0 0⎥⎦
A baloldali Cauchy-Green–féle deformációs tenzor:
2 ⎡1+ γ γ 0⎤
T 2
⎢ ⎥
b= FF = δ + γ E1⊗ E1+ γ( E1⊗ E2 + E2⊗ E1) , [ b]
= ⎢ γ 1 0⎥.
(6.11)
⎢ 0 0 1⎥
⎣ ⎦