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EPISTEMOLOGIA E FONDAMENTI DELL’INFORMATICA
x scriveremo v(x) e chiameremo v(x) il valore del giocatore. Supporremo
che per la funzione v valgano le seguenti due proprietà:
1) v(∅) = 0, (∅ denota l’insieme vuoto)
2) v(X∪Y) ≥ v(X) + v(Y) , ∀ X,Y ∈ P(S), t.c. X∩Y = ∅ (superaddittività).
La coppia (S, v) si dice un gioco cooperativo.
Noi assumiamo l’ipotesi che un giocatore che partecipi ad una coalizione
trasferisca alla coalizione il suo intero valore. Ne segue, per la
2), che due giocatori che partecipano ad una coalizione vi partecipano
con un valore che è almeno pari alla somma dei valori di entrambi.
In un gioco cooperativo (S, v) risulta
v(S) ≥ v(1) + v(2) + … + v(n)
Diremo che un gioco è essenziale o inessenziale a seconda che nella
precedente disuguaglianza non valga o valga il segno eguale.
Due giochi cooperativi (S, v) ed (S, v’), di egual numero di giocatori
n, si dicono equivalenti se esistono delle costanti k>0, c1 , c2 , … , cn
tali che ∀ X ∈ P(S) risulta:
v’(X) = k v(X) + ∑i∈X ci .
Se ciò accade si scrive (S, v) ≈ (S, v’). La relazione è chiaramente una
relazione di equivalenza che ripartisce l’insieme di tutti i giochi cooperativi
in classi di equivalenza.
Si può osservare che se (S, v) ed (S, v’) sono due giochi cooperativi
equivalenti allora esistono delle costanti k>0, c1 , c2 , … , cn e quindi
(S, v’) può essere ottenuto da (S, v) con il seguente procedimento:
ciascun giocatore i ∈ S, pensato come giocatore un giocatore del gioco
(S, v) effettua un pagamento (positivo, negativo o nullo) ci , parimenti
il valore totale v(S) è proporzionalmente aumentato (se k>1)