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E. CORTELLINI- F. EUGENI- G. EUGENI- R. MASCELLA 41
Inversamente data una coppia (S, W) , dove gli elementi di W soddisfino
gli assiomi (w1), (w2), (w3) ponendo : vo(X) = 1 ⇔ X ∈ W , si
ottiene una funzione vo: P(S) → {0, 1} ⊆ R per la quale chiaramente
vo(∅) = 0, cioè ∅ ∉ W , per essere S ∈ W (da (w1)) e per
(w3).
La proprietà superadditiva
vo(X∪Y) ≥ vo(X) + vo(Y) , ∀ X, Y ∈ P(S) , t.c. X ∩ Y = ∅
segue dal fatto che se X è vincente, ogni Y disgiunto da X è il complementare
dell’insieme vincente S - X e quindi è non vincente, dunque:
vo(X∪Y) = vo(X) = 1, vo(Y) = 0 e la relazione vale.
Se X non è vincente e Y lo è, vale il ragionamento precedente scambiando
il ruolo di Y con X.
Infine se sia X che Y sono non vincenti accade che vo(X) = vo(Y) = 0
e quindi la proprietà superadditiva rimane provata sia che vo(X∪Y)
valga 0 che valga 1. (c.v.d.)
Sia ora S un insieme non vuoto e siano W e G due famiglie di parti di
S. Si dice che W è generato da G se accade che :
W = { X ∈ P(S) : ∃ B∈ G t.c. B ⊆ X }
In tale caso si dice che W è la chiusura di G e si scrive W = [G].
Un insieme G di generatori si dice minimale se due qualsiasi elementi
di G non sono confrontabili rispetto all’inclusione.
Proviamo:
Teorema di chiusura. Sia S un insieme finito e non vuoto. Sia G
una famiglia di parti di S con la proprietà che due elementi di G sono
ad intersezione non vuota. Allora la chiusura W = [G] di G, definisce
su S una struttura di gioco semplice cooperativo (S, W) in cui W
= [G], è l’insieme delle coalizioni vincenti.Tale gioco si chiama il gioco
generato da G e si scrive [S, G] = (S, [G] ).