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EPISTEMOLOGIA E FONDAMENTI DELL’INFORMATICA
Diremo che un gioco essenziale cooperativo in forma normale (S, vo)
è un gioco semplice se per ogni X ∈ P(S) risulta vo(X) ∈ {0 1}.
Se per ogni X ∈ P(S) poniamo X c := S - X , risulta (come segue banalmente
dalla superaddittività):
(a) vo(X) = 1 con vo(X c) = 0
(b) vo(X) = 0 con vo(X c) = 1
(c) vo(X) = 0 con vo(X c) = 0 .
Una coalizione X si dirà vincente se vale la (a), si dirà perdente se
vale la (b). E’ anche evidente che se X è vincente il complemento è
perdente così che il numero delle coalizioni vincenti eguglia il numero
delle perdenti. Le coalizioni soddisfacenti la (c) si chiamano coalizioni
bloccate o blocking sets. Denotiamo con W l’insieme delle coalizioni
vincenti (da winning coalitions) del gioco semplice (S, vo) e con
L l’insieme delle coalizioni perdenti (loasing coalitions).
Si può dimostrare il seguente
Teorema di Shapley . Sia W una famiglia di parti P(S) di un insieme
finito S. Supponiamo che gli elementi di W soddisfino ai seguenti
assiomi di Shapley :
(w1) S ∈ W [l’insieme di tutti i giocatari è in W ]
(w2) ∀ X, Y ∈ P(S) , t.c. X ∈ W , X ⊆Y ⇒ Y ∈ W [ogni soprainsieme
di un elemento di W è in W]
(w3) ∀ X ∈ P(S), X ∈ W ⇒ S - X ∉ W [il complemento di una coalizione
di W non è in W].
Allora essi sono le coalizioni vincenti di un gioco cooperativo semplice
(S, vo).
Dimostrazione.
Sia (S, vo) un gioco semplice allora (w1) e (w2) sono banali mentre
(w3) segue dalla superaddittività.