1 La trasformata di Laplace

Calcoliamo la sua trasformata:L[f h ](s) = 1 − e−hshs1, Re(s) > 0.s2.5 Inversione della trasformata di LaplaceIn questo paragrafo ci proponiamo di ottenere una formula di inversione,cioè uno strumento analitico per riottenere il segnale f a partire dalla suatrasformata F . Si possono dimostrare i due teoremi riportati qui di seguito.Teorema 2.8. Sia f un segnale regolare a tratti e sia F (s) la sua trasformatacon ascissa di convergenza σ[f]. Per ogni α > σ[f] si ha∫1α+i∞2πi v.p. e st F (s)ds = 1 2 (f(t− ) + f(t + )),α−i∞dove f(t − ) ed f(t + ) sono i limiti sinistro e destro in t.12 (f(t− ) + f(t + )) = f(t) nei punti t in cui f(t) è continua.In particolare,Il teorema dà una condizione suciente anchè un segnale sia ricostruibilea partire dalla trasformata di Laplace.Il seguente teorema dà unacondizione su F (s) (che sia analitica in un certo semipiano) anchè essa siala trasformata di Laplace di un segnale f(t) fornito dalla formula12πi∫ α+i∞α−i∞e st F (s)ds.Teorema 2.9. Sia s ∈ C ↦→ F (s) una funzione analitica nel semipianoσ = Re(s) > σ 0 e tale che si abbia( ) 1|F (s)| = O , s → ∞,|s k |16