1 La trasformata di Laplace

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• L[f(ct)](s) = 1 c L[f(t)] ( sc)∀c > 0 : Re(s) > cσ[f];• L[f(t − t 0 )](s) = e −t 0s L[f(t)](s)∀t 0 > 0 : Re(s) > σ[f];• L[e at f(t)](s) = L[f(t)](s − a)∀a ∈ C : Re(s) > σ[f] + Re(a).Esempi1. Segnale f(t) = sen + (t):2. Segnale ritardato f(t) = sen + (t − π):L[sen + (t − π)] = e −π s 1s 2 + 1 .Osservazione 2.4. La somma dei due segnali proposti è sin t in [0, π] e zerofuori e si haL[sin + (t)] + L[sen + (t − π)] = 1 + e−π ss 2 + 1 .8
La trasformata calcolata è una funzione intera: tanto il numeratore quanto ildenominatore presentano zeri semplici in s = ±i. Siamo in perfetto accordocon il fatto che la trasformata di una funzione nulla fuori di un compatto èuna funzione intera, cioè σ[f] = −∞.Si può dimostrare la seguente proposizione in cui si dà una formula percalcolare la trasformata di un segnale periodico.Proposizione 2.5. Sia f un segnale periodico per t ≥ 0 di periodo T , cioèf(t + T ) = f(t)Esempio∀t ≥ 0. Se f è sommabile in [0, T ], alloraL[f](s) =∫1 T1 − e −T s1. Consideriamo l'onda quadra:0e −st f(t) dt Re(s) > 0.⎧⎨1 2n ≤ t ≤ 2n + 1, n ≥ 0f(t) =⎩0 altrimenti.E' un segnale periodico per t ≥ 0 di periodo 2.9
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