1 La trasformata di Laplace

e dunque si trovaY (s) = y 0(s + a) + y 1s 2 + as + b+ L[g](s)s 2 + as + b = Y 1(s) + Y 2 (s).A questo punto dobbiamo antitrasformare per ottenere il segnale.Nel caso con g(t) = 0 (equazione omogenea) la trasformata di Laplace dellasoluzione è Y (s) = Y 1 (s), dunque una funzione razionale fratta propria;questa circostanza si verica per ogni equazione dierenziale lineare a coecienticostanti omogenea, indipendentemente dall'ordine. Sappiamo antitrasformareper risalire al segnale utilizzando le tecniche esposte nel paragrafoprecedente.Nel caso con g(t) ≠ 0 la trasformata di Laplace della soluzione è Y (s) =Y 1 (s) + Y 2 (s). Il primo termine lo sappiamo antitrasformare; il secondo termineè Y 2 (s) = L[g ∗ ȳ](s), dove ȳ(t) è detta soluzione fondamentale everica il problema⎧⎨ȳ ′′ (t) + aȳ ′ (t) + bȳ(t) = 0 t ≥ 0⎩ȳ(0) = 0 ȳ ′ (0) = 1.Osservazione 2.10. Sia dato il problema⎧⎨y ′′ (t) + ay ′ (t) + by(t) = 0 t ≥ 0⎩y(0) = 0 y ′ (0) = 1.Se si considera il segnale y + (t), cioè la funzione nulla per t < 0 e coincidentecon y(t) per t ≥ 0, si trova che essa è continua in 0 ma non C 1 poichè laderivata ha una discontinuità di salto nell'origine pari ad 1. Dunque y + (t)è soluzione dell'equazione dierenziale considerata negli intervalli t < 0 e21