1 La trasformata di Laplace

Dunque sommando si ottiene cos(t).Osserviamo che la funzione f(t) data dalla formula (4) può essere determinatanel seguente modo:f(t) = 12πi∫ α+i∞α−∞e st F (s)ds =n∑res(e st F (s), s j ), (5)j=1dove gli s j sono i punti singolari della funzione e st F (s). (La formula (5) èdovuta essenzialmente al teorema dei residui e di una variante del lemma diJordan).Se F (s) è una funzione razionale fratta propria si può utilizzare, oltre alla(5), la decomposizione in fratti semplici spiegata di seguito. Sia dunqueF (s) della formaF (s) = A(s)B(s) ,con A(s) e B(s) polinomi che non abbiano zeri in comune (in caso contrario,dividendoli per il loro massimo comune divisore, potremmo sempre ridurci atale situazione). SianoA(s)=a m s m +a m−1 s m−1 + · · · +a 0 a m ≠ 0,B(s) = b n s n + b n−1 s n−1 + · · · + b 0 b n ≠ 0,con n > m. Siano dunque s 1 , s 2 , · · · , s r gli zeri distinti del polinomio B(s)con molteplicità n 1 , n 2 , · · · , n r rispettivamente. Saràr∑n k = n, A(s k ) ≠ 0, k = 1, 2, · · · , r.k=1Ciascuno dei punti s k è un polo di ordine n k per la funzione F ; dunque18