1 La trasformata di Laplace

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segue cheL[sinh(ωt)](s) = 1 2[ 1s − ω − 1 ]=s + ωωs 2 − ω 2L[cosh(ωt)](s) =ss 2 − ω 2 ,e dunque in particolareL[sinh(t)](s) = 1s 2 − 1L[cosh(t)](s) =s , Re(s) > 1.s 2 − 12.2 LimitatezzaProposizione 2.1. Sia f una funzione L-trasformabile con ascissa di convergenzaσ[f]; allora per ogni σ 0 > σ[f] la funzione F (s) = L[f](s) è limitatanel semipiano chiuso Re(s) ≥ σ 0 e inoltrelim F (s) = 0.Re(s)→+∞L'ultima aermazione signica che se {s n } è una successione di punti percui σ 0 ≤ σ n := Re(s n ) −→ +∞, alloralim F (s n) = 0.n→+∞2.3 Derivata della trasformata di LaplaceProposizione 2.2. Sia f una funzione L-trasformabile con ascissa di convergenzaσ[f]; allora la funzione F (s) = L[f](s) è olomorfa nel semipianoRe(s) > σ[f]. La funzione t −→ −tf(t) è L-trasformabile con ascissa diconvergenza σ[f] e abbiamoF ′ (s) = L[−tf(t)](s), (3)dove con F ′ (s) si intende la derivata in campo complesso.In generale si haF (n) (s) = L[(−t) n f(t)](s) = (−1) n L[t n f(t)]Re(s) > σ[f].6
2.4 SegnaliLa denizione di trasformata coinvolge solo i valori di f(t) per t ≥ 0. Se f(t)è denita su R denotiamo⎧⎨f(t) t ≥ 0f + (t) =⎩0 altrimenti,cioè f + (t) = H(t) f(t). Ne segue che L[f](s) = L[f + ](s).Denizione 2.3. Una funzione nulla per t < 0 e L-trasformabile vienechiamata segnale.EsempioConsideriamo la funzione t −→ t n +, con n ∈ N. Per n = 0 abbiamo t 0 = 1e dunque la funzione t 0 + coincide con H(t). La sua trasformata di Laplace èalloraL[t 0 +](s) = 1 Re(s) > 0.sPer n > 0 riusciamo a scrivere la seguente formula ricorsiva∫ +∞[ ] −eL[t n +](s) = e −st t n −st t=+∞ ∫ +∞dt = t n + ns0Abbiamo quindit=0= n s L[tn−1 + ](s).L[t + ](s) = 1 s 2 L[t 2 +](s) = 2 s 30e −sts tn−1 dt =e in generaleL[t n +](s) = n!s n+1 Re(s) > 0.Riportiamo ora alcune proprietà (di facile verica) della trasformata diLaplace nel caso in cui f è un segnale.7
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Page 21 and 22: e dunque si trovaY (s) = y 0(s + a)
Page 23 and 24: è invariante per traslazioni). Si
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Page 27: La trattazione fatta no ad ora si e

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