1 La trasformata di Laplace

che risulta sommabile su R + se (e solo se) Re(s) > 0. Dunque si ottieneσ[f] = 0 e la trasformata di Laplace si calcola come integrale improprioL[H](s) =∫ +∞0e −st dt = 1 s .Si noti che la funzione ottenuta 1 è denita e olomorfa in C∗ = C\ {0}, massolo nel semipiano Re(s) > 0 è la trasformata di Laplace di H(t).Esempio 2Consideriamo f(t) = e at con a = α+i β. La funzione t −→ e −st e at = e −(s−a)tè sommabile se (e solo se) Re(s − a) = Re(s) − α > 0, cioè Re(s) > α.Dunque si ottiene σ[f] = α. Il calcolo della trasformata di Laplace in questosemipiano è simile a quello dell'esempio precedenteL[f](s) =∫ +∞0e −(s−a)t dt = 1s − a .Per a = 0 si ritrova il risultato relativo alla funzione di Heaviside.Esempio 3Consideriamo l'impulso di durata h > 0:⎧⎨1 0 ≤ t < hX [0,h) (t) = H(t) − H(t − h) =⎩0 altrove.Si ha per s ≠ 0L[X [0,h) ](s) =∫ +∞0e −st X [0,h) (t) dt =∫ h0[ ee −st −stdt =s] t=0t=h= 1 − e−sh.sC'è dunque singolarità per s = 0, che risulta eliminabile:lim L[X 1 − e −sh[0,h)](s) = lims→0 s→0 s1 − e −sh= lim h = h = L[X [0,h) ](0).s→0 shPossiamo quindi concludere che la trasformata di Laplace, in questo caso,ha ascissa di convergenza σ[f] = −∞; questo avviene, più in generale, ognivolta che f = 0 fuori di un insieme compatto, i.e. chiuso e limitato.3