1 La trasformata di Laplace

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Osserviamo che la trasformata di Laplace consente ovviamente di risolvereanche problemi di Cauchy del primo ordine. Diamo il seguente esempio.EsempioConsideriamo il seguente problema di Cauchy per un'equazione del primoordine:dove H è la funzione di Heaviside.⎧⎨ y ′ (t) − y(t) = H(t − 1) t ≥ 0⎩y(0) = 0Si haY (s) =e−ss(s − 1)⎧⎨−1 + e t−1 t ≥ 1=⇒ y(t) =⎩0 0 ≤ t < 1.Si può osservare facilmente che y(t) è continua, mentre la sua derivata primano:⎧⎨e t−1 t > 1y ′ (t) =⎩0 0 ≤ t < 1.Questo è dovuto al salto che il termine noto (funzione di Heaviside) ha in24
t = 1:Si dice che y(t) riceve un impulso in t = 1.EsempioVogliamo risolvere, tramite la trasformata di Laplace, il seguente problemadi Cauchy:⎧⎨ y ′′ (t) + y(t) = te t⎩y(0) = 1, y ′ (0) = 1.Trasformiamo entrambi i membri dell'equazione:Y (s) = s + 1s 2 + 1 + 1(s 2 + 1)(s − 1) 2 = Y 1(s) + Y 2 (s).Per Y 1 (s) si haY 1 (s) =ss 2 + 1 + 1s 2 + 1=⇒ y 1 (t) = cos(t) + sin(t).Mentre per Y 2 (s):Y 2 (s) = L[te t ] L[sin(t)] =⇒ y 2 (t) = te t ∗ sin(t).25
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Page 21 and 22: e dunque si trovaY (s) = y 0(s + a)
Page 23: è invariante per traslazioni). Si
Page 27: La trattazione fatta no ad ora si e

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