1 La trasformata di Laplace

F (s) = A(s)B(s) =r∑k=1∑n kj=1a (k)−j(s − s k ) j .Ora noi sappiamo cheL[t j−1+ ] =[ ](j − 1)!t j−1+⇐⇒ Ls j (j − 1)!= 1 s je dunque per le proprietà della trasformata si ottiene che[ ]t j−1+1L(j − 1)! es kt=(s − s k ) . jSe ne deduce che F (s) è la trasformata di Laplace del segnalef(t) =r∑k=1∑n kj=1a (k)−j(j − 1)! tj−1 + e s kt .Se tutti i poli sono semplici, cioè n 1 = n 2 = · · · = n r = 1, si trovaf(t) =n∑k=1a (k)−1 e s kt .Si osservi che tra gli n addendi a secondo membro compare un termine costantese e solo se uno degli zeri s k vale 0; inoltre, se tutti gli zeri s k delpolinomio a denominatore hanno parte reale negativa, allora si ottiene chelim t→+∞ f(t) = 0.EsempioConsideriamo F (s) =se determiniamo il segnale di cui è la trasfor-(s − 1)2mata.19