1 La trasformata di Laplace

t > 0, mentre nell'origine la derivata non esiste. Non è quindi una soluzionein senso classico, ma lo è nel senso delle distribuzioni, cioè una soluzionedell'equazioney ′′ + a 1 y ′ + a 0 y = δ, (6)dove δ indica la delta di Dirac. Per quanto appena detto la soluzione fondamentaleva anche sotto il nome di risposta all'impulso di Dirac orisposta impulsiva.EsempioConsideriamo il seguente problema di Cauchy:⎧⎨y ′′ (t) + 9y(t) = H(t − 1) t ≥ 0⎩y(0) = 0 y ′ (0) = 0.Trasformando ambo i membri dell'equazione si trova, posto Y (s) = L[y](s)(s 2 + 9)Y (s) = e−ss=⇒ Y (s) =e −ss(s 2 + 9) .Antitrasformando si ottiene⎧⎨1(1 − cos(3(t − 1))) t ≥ 1y(t) = 9⎩0 t < 1.EsempioConsideriamo il seguente problema di Cauchy:⎧⎨y ′′ (t) + y(t) = 3⎩y(5) = 0 y ′ (5) = 1.(7)Le condizioni non sono assegnate in 0. Si cerca dunque di ricondursi ad unproblema con condizioni iniziali in 0 (si può fare perchè il secondo membro22