1 La trasformata di Laplace

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Denizione 1.3. Sia f : I −→ C (dove R + ⊆ I) una funzione L-trasformabile;postoσ[f] := inf { Re(s) : e −st f(t) è sommabile } ,per ogni s tale che Re(s) > σ[f] chiameremo trasformata di Laplace di fla funzioneL[f](s) = F (s) :=∫ +∞0e −st f(t) dt. (2)Diremo inoltre che σ[f] è l'ascissa di convergenza della funzione f.Osservazione 1.4. Se la funzione f(t) è di ordine esponenziale α, cioèverica una disuguaglianza del tipo|f(t)| ≤ M e α tcon α ∈ Rallora σ[f] ≤ α. Infatti per ogni s ∈ C con Re(s) > α si ha|e −s t f(t)| = e −Re(s) t |f(t)| ≤ e −Re(s) t M e α t = Me (α−Re(s))te l'ultima funzione è sommabile in R + .Si osservi inoltre che una funzione di ordine esponenziale α = 0 è semplicementeuna funzione limitata: |f(t)| ≤ M.Esempio 1Consideriamo la cosiddetta funzione di Heaviside:⎧⎨1 t ≥ 0H(t) =⎩0 altrove.Si tratta quindi di vedere quando e −s t è sommabile su R + . Si ha|e −s t | = e −Re(s) t2
che risulta sommabile su R + se (e solo se) Re(s) > 0. Dunque si ottieneσ[f] = 0 e la trasformata di Laplace si calcola come integrale improprioL[H](s) =∫ +∞0e −st dt = 1 s .Si noti che la funzione ottenuta 1 è denita e olomorfa in C∗ = C\ {0}, massolo nel semipiano Re(s) > 0 è la trasformata di Laplace di H(t).Esempio 2Consideriamo f(t) = e at con a = α+i β. La funzione t −→ e −st e at = e −(s−a)tè sommabile se (e solo se) Re(s − a) = Re(s) − α > 0, cioè Re(s) > α.Dunque si ottiene σ[f] = α. Il calcolo della trasformata di Laplace in questosemipiano è simile a quello dell'esempio precedenteL[f](s) =∫ +∞0e −(s−a)t dt = 1s − a .Per a = 0 si ritrova il risultato relativo alla funzione di Heaviside.Esempio 3Consideriamo l'impulso di durata h > 0:⎧⎨1 0 ≤ t < hX [0,h) (t) = H(t) − H(t − h) =⎩0 altrove.Si ha per s ≠ 0L[X [0,h) ](s) =∫ +∞0e −st X [0,h) (t) dt =∫ h0[ ee −st −stdt =s] t=0t=h= 1 − e−sh.sC'è dunque singolarità per s = 0, che risulta eliminabile:lim L[X 1 − e −sh[0,h)](s) = lims→0 s→0 s1 − e −sh= lim h = h = L[X [0,h) ](0).s→0 shPossiamo quindi concludere che la trasformata di Laplace, in questo caso,ha ascissa di convergenza σ[f] = −∞; questo avviene, più in generale, ognivolta che f = 0 fuori di un insieme compatto, i.e. chiuso e limitato.3
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