Hoofdstuk 6 Fourier Analyse

HOOFDSTUK 6. FOURIER ANALYSE 164
Definieer X (ω) als
X (ω) =
∫ ∞
−∞
x (t) e −jωt dt. (6.29)
Uit (6.28) en (6.29) de complex Fourier coefficient D n kan uitgedrukt worden als
Substitueren van (6.30) in (6.26) geeft
D n = 1 T 0
X (nω 0 ) (6.30)
∞∑ 1
x T0 (t) = X (nω 0 ) e jnω 0t
T
n=−∞ 0
= 1 ∞∑
X (nω 0 ) e jnω0t ω 0 (6.31)
2π
n=−∞
Als T 0 → ∞, ω 0 = 2π
T 0
wordt infinidecimaal (ω 0 → 0) en ω 0 = ∆ω. Vergelijking (6.31)
wordt dan
x T0 (t)| T0 →∞ → 1 ∞∑
X (n∆ω) e jn∆ωt ∆ω. (6.32)
2π
n=−∞
Met lim T0 →∞ x T0 (t) = x (t) , het aperiodiek signaal x (t) met eindige duur kan geschreven
worden als
1
∞∑
x (t) = lim X (n∆ω) e jn∆ωt ∆ω. (6.33)
∆ω→0 2π
n=−∞
De eindeloze som aan de rechterkant van (6.33) kan gezien worden als de oppervlakte
onder de functie X (ω) e jωt , zoals voorgesteld in Figuur 6.9.
Vergelijking (6.33) wordt dan
Figuur 6.9: Grafische interpretatie van vergelijking (6.33)
x (t) = 1
2π
= 1
2π
∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞
X (w) e jωt dω
(∫ ∞
x (t) e −jωt dt
−∞
welke de Fourier voorstelling is van een aperiodiek signaal x (t) .
)
e jωt dω, (6.34)