Hoofdstuk 6 Fourier Analyse

HOOFDSTUK 6. FOURIER ANALYSE 182
De asymptoten worden in Figuur 6.23 voorgesteld en de exacte magnitudefunctie in Figuur
6.22. De asymptoten geven een goede benadering voor frequenties verschillend van de
hoekfrequenties. Bij de hoekfrequentie is het verschil van de asymptotische benedering
t.o.v. de exacte 3 dB.
De hoek van de factor |jωT + 1| wordt gegeven door
∠(jωT + 1) = tg −1 (ωT ) (6.72)
• Voor lage frequenties, ω < ω hf
, wordt ∠(jωT + 1) ≈ 0◦
10
• Voor hoge frequenties, ω < 10 ω hf , wordt ∠(jωT + 1) ≈ 90 ◦
Het verschil van 0 ◦ naar 90 ◦ kan worden benaderd door een rechte lijn met de richtingscoëfficiënt
45 ◦ /dec over een twee decadebereik van ω hf
naar 10 ω 10 hf.
Wanneer de factor in de noemer voorkomt, (j ω + 1) −1 , resulteert dit een richtingscoëfficiënt
van -20 dB/decade in de magnitude plot en −90 ◦ in de faseplot (zie Figuur
6.24)
0
Bode Diagram (asymptotisch)
Magnitude (dB)
−10
−20
−30
−20 log 10
(ω T)
−40
10 −2 10 −1 10 0 10 1 10 2
0
fase (deg)
−45
−90
10 −2 10 −1 10 0 10 1 10 2
ω hf
(rad/s)
Figuur 6.24: Asymptotische magnitude en fase van de factor |(j ωT + 1) −1 |
(j ω) factor De magnitude van jω wordt gegeven door
|jω| dB
= 20 log 10 (ω) (6.73)
Dit is een rechte met richtingscoëfficient -20 dB/decade (logaritmische schaal voor ω).
De rechte snijdt de 0 dB-as bij ω = 1. De Bode diagram voor |jω| dB
wordt afgebeeld in
(Figuur 6.25). In dit geval is de asymptotische benadering niet nodig omdat de exacte
vorm een rechte is. De fase grafiek is een rechte met constante waarde ∠jω = 90 ◦ zoals